Уравнение касательной.

Организационная информация

Тема урока

«Касательная. Уравнение касательной»

Предмет

Алгебра и начала анализа

Класс

11

ФИО, должность.

Волкова Л.И., учитель математики

Образовательное учреждение

МБОУ гимназия №5

Федеральный округ России

ЮФО

Республика/край

РСО-Алания

Город/поселение

Г. Владикавказ

Методическая информация

Тип урока

Изучение нового материала

Цели урока

(образовательные, развивающие, воспитательные)

• Уточнить понятие «касательной».

• Вывести уравнение касательной.

• Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

у = f (x)».

• Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Задачи урока (мероприятия, занятия)

• Отработать умения и навыки по применению производной;

• Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

• Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

• Развивать навыки исследовательской работы.

Используемые педагогические технологии, методы и приемы

Технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, мозговой штурм.

Время реализации урока

40 минут, школьный урок

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

«Уточняют» понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм написания уравнения касательной, отрабатывают умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях, учатся решать задания ЕГЭ .

Необходимое оборудование и материалы

Компьютер, презентация, проектор, интерактивная (или маркерная) доска

Дидактическое обеспечение урока (мероприятия, занятия)

Карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Список учебной и дополнительной литературы

С. М. Никольский и др. «Алгебра и начала анализа», Ш. А. Алимов и др. «Алгебра и начала анализа», Д. А. Мальцев и др. «МАТЕМАТИКА Всё для ЕГЭ 2012»

Ход и содержание урока , деятельность учителя и учеников.

1. Мотивация учащихся

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока.

Пусть слова, которые вы видите на доске, станут девизом сегодняшнего урока.

• Плохих идей не бывает

• Мыслите творчески

• Рискуйте

• Не критикуйте

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

1. у =2х¹⁰

2. у=4

3. у=7х+4

4. у = tg x +

5. у = х³sin x

6. у =

Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест проверяют сами учащиеся

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры.
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x² одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

4.  Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач.

5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? Сделайте вывод, что же такое касательная?

Примем за определение: касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? ( да, k = f '(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) – f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (а, f (а) ) – координаты точки касания

2. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислим f(a).

3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

7. Историческая справка

Расшифруйте слово

Ответ: ФЛЮКСИЯ

Какова история происхождения этого названия?

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа п ринадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и и нтегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

8. Закрепление

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. а = -1;

2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f '(x) = 2х – 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;

4. y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f'(x) в точке а= 1.

Р ешение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x₁;у₁), (х₂; у₂)— координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1),

значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

к= fˈ(1)=0,5

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f'(x) в точке а = -2.

Решение : график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• Что называется касательной к графику функции в точке?

• В чём заключается геометрический смысл производной?

• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Рефлексия деятельности на уроке

Выберите смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Ссылки на использованные интернет-ресурсы

http://festival.1september.ru/articles/584315/

http://festival.1september.ru/articles/518318/

В помощь учителю

Данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить?

Данная тема очень объемна, за счет использования мультимедиа высвобождается достаточное количество времени для отработки практических навыков, хорошо работает принцип наглядности.

Советы по логическому переходу от данного урока к последующим

На последующих уроках желательно продолжить отработку навыков составления уравнения касательной, желательно уделить время для решения тренировочных заданий В -8 из сборников по ЕГЭ.

Другое