Тригонометриялык негизги формулалар.

Тригонометриялык негизги формулаларды окутуу

План:

1. Бир эле бурчтун тригонометриялык функцияларынын арасындагы катыштарды окутуу

2. Келтирүүнүн формуласын окутуу

3. Кошуунун формулаларын окутуу

4. ….

5. Тригонометриялык функциялардын суммаларын жана айыр айырмаларын кѳбѳйтүндү түрүнѳ келтирилүүчү формулаларды окутуу.

1.хОу тик бурчтуу координата системасында борбору анын башталышында жаткан, радиус ОА=R болгон айлананы алалы. ОА=R радиусун α бурчун буруп ОВ радиусун алабыз.

Тригонометриялык функциянын аныктоосу боюнча белгилүү. Мындан болот.

1-чиймедеги айлананын теңдемеси болорун билебиз.

В чекити айланада жаткандыктан анын координаталары айлананын теңдемесин канааттандырат. Б.а. болот. Мындан (1) теңдештик (формула) келип чыгат.

1. Форуланы Пифагордун теоремасын колдонуу менен келтирип чыгарууга болот.

1-чиймеден белгилүү

∆ОВN нан . Мындан же .

Тангенс жана катангенс функцияларынын аныктоолорунан жана барабарсыздыктарын эске алсак:

(2) (3).

Бул үч формуланы негизги тригонометриялык теңдештиктер деп аташат. Алардын жардамы менен башка тригонометриялык формулаларды алууга болот.

1. жана (3) формулалардан (4)

1. формуланын эки жагын тең га бѳлүп, Мындан: (5)

Ушул сыяктуу эле (6).

Ошентип, алты формулага ээ болдук.

2.Тригонометрияда каалагандай бурчтун синусун, косинусун, тангенсин жана катангенсин тар бурчтун тригонометриялык формулаларына келтирип алуу маанилүү. Ошондуктан түрүндѳгү бурчтардын тригонометриялык функцияларына келтирүү кыйла ыңгайлуу болот.

Биз (к=1,2,3,4) карасак, ; ; ; бурчтары үчүн гана келтирүүнүн формулаларын карайлы.

Келтирүүнүн формулаларын адегенде синус жана косинус үчүн чыгаралы.

Ⅱ чейректе бүткѳн бурчтун синусу жана косинусу үчүн келтирүүнүн формуласын келтирип чыгарабыз.

R=ОА-радиусун О чекитинин айланасында α бурчуна жана бурчуна бурабыз.

ОА-радиусу ОВ жана радиустарына ѳтѳт. В жана чекиттеринен координата окторуна перпендикуляр түшүрѳбүз. Жыйынтыгында ОСВД жана тик бурчтуктарына ээ болобуз.

тик бурчтугу ОВСД тик бурчтугун О чекитинин айланасында бурчуна буруудан алына тургандыгын оңой эле ишенүүгѳ болот. Бул бурууда чекитине ѳтѳт.

жана

же жана

Мындан

болорун эске алсак,

ээ болобуз.

бурчу үчүн келтирүүнүн формуласын чыгаруу максатында (1) форуладагы α ны –α менен алмаштырабыз.

.

Демек, ; . (2)

бурчунун синусу жана косинусу үчүн келтирүүнүн формулаларын келтирип чыгаралы. кѳрүнүшүндѳ жазып, (1) формуласы эки жолу колдонобуз.

Демек, , (3)

1. формуладан бурчунун синусун жана косинусун оңой эле алууга болот.

, (4)

Эми ны түрундѳ жазып, (2), (3) формулаларды удаалаш колдонуп, келтирип чыгарабыз.

Калгандарын да ушул сыяктуу чыгарып, жыйынтыгында тѳмѳнкү таблицаны сунуш кылабыз. Бул таблица математика канаасында болсо жакшы болор эле.

Бир функция үчүн кошуунун формуласы тѳмѳнкүдѳй жолдор менен чыгарылышы мүмкүн:

1. Векторлордун скалярдык кѳбѳйтүндүсүнүн жардамында. Бул жол менен кошуунун формуласы окуу китебинде келтирилип чыгарылган.

2. Координата тегиздигинде эки чекиттин арасындагы аралыкты табуу формуласынын жардамында (А.Н.Колмогоров ж.б. авторлор)

3. Аянттарды табуу формуласынын жардамында

4. Формалдуу жол менен же даяр формула түрүндѳ берүү

Үч бурчтуктун аянтын табуунун формуласынын жардамында кошуунун формуласын келтирип чыгарууну карайлы.

Каалагандай АВС үч бурчтугу берилсин, ВД бийиктигин жүргүзѳбүз. болсун дейли. Анда .

Үч бурчтуктун аянтын табуунун формуласы боюнча (3-чийме).

АВД жана СВД тик бурчтуу үч бурчтуктарынан АД=сsinα, ДС=аsinβ, ВД=acosβ же ВД=сcosα

(2)

(3)

(2)жана (3)-нү 1-ге коюп, экенин эске алсак, тѳмѳнкү келип чыгат.

Барабарсыздыктын эки жагын тең бѳлүп жиберсек, анда формуласы келип чыыгат.

Калган формулаларды келтирүүнүн формулаларын колдонуп оңой эле чыгарууга болот.

.

.

.

кѳбѳйтүндүлѳрүн суммага ѳзгѳртүп түзүүгѳ мүмкүндүк бере турган формулаларды келтирип чыгарууну карайбыз.

Бизге белгилүү болгон эки бурчтун суммасынын жана айырмасынын формулаларын жазалы

(1)

(2)

(1)жана (2) ни мүчѳлѳп кошсок,

же (3)

Ушундай эле жол менен

Эми cумма жана айырмаларын кѳбѳйтүүчүлѳргѳ ѳзгѳртүп түзүүнү карайлы.

суммасын кѳбѳйтүндүгѳ ѳзгѳртүп түзүүнү карайлы.

белгилейли.

туюнтмасын алабыз.

.

Ушуга окшош эле жол менен