Теорема синусов

Из опыта работы

учителя математики

МБОУ «Гимназия№11»

Гусейновой А. Г.

Урок геометрии (9класс).

Тема: « Теорема синусов»  

Эпиграф:

«Геометрия есть познание всего сущего, поскольку приближает разум к истине».

Платон .

Цель урока:

доказать теорему синусов и ее следствия,

для нахождения неизвестных элементов произвольных треугольников

формировать навыки исследовательской работы.

применять полученные знания к решению практических задач

Притча:

Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умерщвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”

Актуализация знаний. 

а) дать определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

б) Чему равна сумма углов треугольника?

в) Какая из сторон треугольника  ABC  наибольшая, а какая - наименьшая?

г ) Какой из углов треугольника  ABC  наибольший, а какой- наименьший?

г) какие формулы площади треугольника вы знаете?

д) какие формулы площади параллелограмма: вы знаете?

Устные упражнения: 1.Найдите площадь треугольника АВС.

2.Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Каждому выражению из левого столбца поставьте в соответствие выражение из правого столбца:

sin (180 – a) =                         sin a

sin (90 – a) =                          sin a

cos (180 – a) =                        cos a

cos (90 – a) =                        - cos a

Проблемная ситуация. Найти расстояние от точки A до недоступной точки B, если

АС = 50 м,   ∠  CAB   = 80 ° и   ∠  ACB   = 72 °   

Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге "Трактат о полном четырёхстороннике" персидского математика, механика и астронома Насира ад-Дина Ат-Туси (1201 - 1274), которая была написана в 13 веке. Он систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Дано:

AB = c,

BC = a,

AC = b.

Доказать:

Доказательство:

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем

значит,

аналогично, из второго и третьего

равенств следует

Итак, .

Теорема доказана.

Следствия из теоремы синусов :

1) В треугольнике против большего угла лежит

большая сторона, против большей стороны

лежит больший угол.

2) Отношение стороны треугольника к синусу

противолежащего угла равно диаметру

описанной окружности .

Вернёмся теперь к задаче, которую мы не смогли решить в начале урока.

Найти расстояние от точки A до недоступной точки B, если

АС = 50 м,   ∠  CAB   = 80 ° и   ∠  ACB   = 72 °   

Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в

Пусть искомая сторона-х.Тогда по теореме синусов имеем:

Дано: ΔABC

АС = 50 м, 

∠  CAB = 80° 

∠  ABС = 72° 

Найти AB.

Решение .

∠  CBA = 180 0  –(∠ CAB +∠ ACB )

∠  CBA = 180 0  –(80° + 72° )= 28 0

АВ = АС

Sin C Sin В

АВ = 50

Sin 72 0 Sin 28 0  

АВ = 50 * Sin 15 0 = 50* 0,95 = 103,26(м)

Sin 28 0 0,46

Ответ: АВ=103,26 м.

Проверочная работа (работа в группах).

Дано: ΔABC

1 группа .

Найти: АС

Решение.

По теореме синусов имеем

Ответ:

Проверочная работа (работа в группах).

Дано: ΔABC

2 группа .

Найти: АС

Решение.

По теореме синусов имеем

Ответ: АС= 5,6см

Проверочная работа (работа в группах).

Дано: ΔCMD

3 группа .

Найти: АС

Решение.

По теореме синусов имеем

Ответ: АС= 8,1см

Проверочная работа (работа в группах).

Дано: ΔPKD

4 группа .

Найти: KD

Решение.

По теореме синусов имеем

Ответ: KD = 7,3см

Подведение итогов урока:

Вопросы:

1. Какие типы задач позволяет решить теорема синусов?

-находить сторону треугольника, если даны два угла и сторона треугольника;

-находить угол треугольника, если известны две стороны и угол, прилежащий к одной из них;

- находить радиус окружности, описанной около треугольника и т.д.

Домашнее задание:

№ 1025(а, в); № 1026

Оцените урок и результат своей деятельности. Выберите один из вариантов:

На уроке я работал активно / пассивно.

Своей работой на уроке я доволен / недоволен.

Урок для меня показался коротким / длинным

За урок я устал / не устал

Материал урока мне был понятен / не понятен

интересен / скучен

За урок я оставлю себе оценку -----------------------------

Молодцы!

28