Теорема о трех перпендикулярах. Геометрия 10 класс. Презентация

Теорема о трёх

перпендикулярах

Геометрия 10

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Стереометрия

Планиметрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Отрезок АН – перпендикуляр

Точка Н – основание перпендикуляра

Отрезок АМ – наклонная

Точка М – основание наклонной

Отрезок МН – проекция

наклонной на прямую а

Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость

2

Стереометрия

Планиметрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

плоскости

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

3

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

П

Проекция

Е

Проекция

Р

П

Е

Н

Д

И

К

У

Л

Я

Р

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

3

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

А 0

М 0

II

М

А

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется

расстоянием между параллельными плоскостями.

5

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

a

a II

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

6

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

А

a b

a

a II

b

a 0

м

А 1

Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

7

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

8

Обратная теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

9

№ 139

В

П-Р

Н-Я

Н-Я

С

П-Я

П-Я

M

А

10

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

TTT

AD AB

М

AD AM

П-я 1

№ 147.

Н-я 1

TTT

DC BC

DC CM

П-Р

П-я 2

Н-я 2

В

А

П-я 1

Л.С. Атанасян №147.

С

D

11

Н-я

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

№ 148.

К

П-Р

В

П-я

М

А

Л.С. Атанасян №148.

С

TTT

BC AМ

BC MК

П-я

Н-я

12

Н-я

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.

Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

№ 149.

D

П-Р

В

П-я

N

А

Л.С. Атанасян №149.

С

TTT

BC AN

BC DN

П-я

Н-я

АN и DN – искомые расстояния

13

Домашнее задание.

Пункты 19, 20 № 144, № 153 ( эти задачи решены

в учебнике, № 144 – второе замечание,

№ 153 – обратная теорема),

решить задачи № 143, № 145.

13