Тексттүү маселелер

Тема: Тексттүү маселелерди чыгаруу.

1. Математикалык маселе түшүнүгү. Тексттүү маселе түшүнүгү.

2. Сандык көз карандылыктарга берилген маселелерди чыгаруу.

3. Прогрессияларга берилген маселелерди чыгаруу.

4. Эритме жана аралашмага берилген маселелерди чыгаруу.

5. Биргелешкен жумушка берилген маселелерди чыгаруу.

6. Кыймылга берилген маселелерди чыгаруу.

Аныктама. «Бир же бир нече берилгендерди пайдаланып, белгилүү эреже, формулалардын негизинде, берилгендер менен байланышта болгон бир же бир нече белгисиздерди табууну же касиеттерди далилдөөнү талап кылуучу математикалык сүйлөм математикалык маселе деп аталат. Демек ар кандай математикалык маселеде а) алгачкы шарты (берилгендери), б) маселе-ни чыгарууга негиз болуучу эреже, формулалар, теориялык материалдар (ба-зиси), в) кандайдыр бир чоңдуктарды, обьектилерди табууну же касиеттерди далилдөөнү талап кылуучу суроолор бөлүктөрү (маселени талабы) болот.

Математикалык маселелер мисалдарга, көнүгүүлөргө жана маселелерге ажырайт, маселелер жөнөкөй жана татаал болуп бөлүнөт. Оозеки жана жазма иштөөгө берилген маселелер болот.

Маселенин шартында жана талабында берилген чондуктар, түшүнүк-төр - маселенин обьектилери деп аталат. Обьектилери боюнча математика-лык маселелер: практикалык, турмуштук, мазмундуу, тексттүү жана таза ма-тематикалык болуп бөлүнүшөт. Маселенин обьектилеринин жок дегенде би-рөөсү реалдуу (чыныгы) нерселер болсо, анда мындай математикалык масе-лелер мазмундуу, практикалык мүнөздөгү маселелер деп аталат.

Маселелер эсептөөгө, аныктоого берилген, далилдөөгө берилген жана түзүүгө, өзгөртүп түзүүгө берилген болуп да бөлүнөт.

Математикалык маселелер жөнөкөй жана татаал болуп да бөлүнөт. Бир эле амалдын жардамында чыгарылса жөнөкөй, ал эми бир нече амал менен чыгарылса татаал маселе деп айтылат.

Математикалык маселелерди чыгаруу этаптары негизинен төмөнкүлөр:

1) Маселенин берилишин окуп, түшүнүп, берилгендерди жана талабын (суроосун) ажыратуу, берилгендерге туура келген чиймени чийүү;

2) Маселенин шартында берилгендер менен анын талабынын обьектилери-нин арасындагы байланыштарды аныктоо, белгисиздерди тамгалар менен белгилөө, маселени чыгаруунун планын түзүү (анализдөө);

3) Маселени чыгаруу, планын аткаруу (синтездөө);

4) Жообун текшерүү, далилдөө, жообун туюнтуп жазуу;

5) Маселенин чыгарылышын изилдөө (канча жообу бар, кайсы учурда чыга-рылышка ээ ж.б.).

Математикалык маселелерди чыгаруунун негизги жолдору төмөнкүлөр:

1. Аналитикалык-синтетикалык жол. Алдын-ала анализдеп, байланыштар табылып, план түзүлүп, андан кийин синтездеп чыгаруу;

2. Бирдикке келтирүү жолу. Көпчүлүк маселелерде берилгендерди бирдикке келтирүүгө болот;

3. Сыноо-текшерип көрүү (проба), божомолдоо жолу;

4. Белгисизди белгилеп, тендеме, барабарсыздык түзүп иштөө, универсалдык же алгебралык метод;

5. Бир белгисизди башкасы менен алмаштырып, белгилөө методу;

6. Графикалык метод (геометриялык метод);

7. Вектордук метод;

8. Аналитикалык метод же декарттык координаталар методу;

9. Өзгөртүп түзүү жолдорунан пайдалануу;

10. Толук математикалык индукция методу ж.б.

Аныктама. Кандайдыр бир кырдаалды табигый тилде баяндаган, ал кырдаалдын компоненттеринин арасындагы сандык катыштарын же белги-лүү компоненттеринин негизинде белгисиз компоненттерин аныктоону талап кылган математикалык сүйлөм тексттүү маселе деп аталат.

Мисалы, Поезд 840 км аралыкты өтүү керек эле. Жолдун ортосунда 30 минута кармалып калгандыктан, өз убагында жетүү үчүн ылдамдыгын 2 км ге жогорулаткан. Бардык жолго поезд канча саат сарп кылган?

Бул маселе кыймылга берилген тексттүү маселе. Мында аралык, ыл-дамдык жана убакыттын байланышынан убакытты аныктоо керек.

Тексттүү маселени чыгаруу үчүн төмөнкү эрежелерди карманабыз:

1. маселедеги изделип жаткан белгисизди кандайдыр бир тамга менен белгилеп алабыз;

2. белгиленген тамга аркылуу маселенин шартында берилгендерди туюнтуп чыгабыз;

3. маселеде берилгендер менен белгисиздердин арасындагы байланыштарды тургузуу аркылуу теңдемесин түзөбүз;

4. алынган теңдемени чыгарып, анын тамырларын табабыз;

5. алынган тамырларды маселенин шартына коюп текшерип, маселенин жообун жазабыз.

Тексттүү маселелер мазмунуна жана коюлган талаптарына жараша бир нече түргө бөлүнөт:

1. Сандык көз карандылыктарга берилген маселелер.

2. Прогрессияларга берилген маселелер.

3. Эритме жана аралашмага берилген маселелер.

4. Биргелешкен жумушка берилген маселелер.

5. Кыймылга берилген маселелер ж. б.

Тексттүү маселелердин бул түрлөрүнө маселелер иштейбиз. Маселелерди тексттүү маселелерди чыгаруунун жогоруда белгиленген эрежелери боюнча чыгарабыз.

1-маселе. Эки орундуу сандын цифраларынын суммасы 9 га барабар. Эгерде цифралардын ордун алмаштырсак, анда мурунку сандын бөлүгүнө барабар сан алынат. Бул сандарды тапкыла.

Чыгаруу. Бул сандык көз карандылыктарга берилген маселе. Мында маселенин шартындагы берилген сандык көз карандылыктарга (арасындагы байланыштарга) карап теңдемелер түзөбүз.

Изделүүчү эки орундуу санды деп белгилеп алалы, анда х+у = 9 экендигин байкоого болот. Сандын цифра-ларынын ордун алмаштырганда экинчи изделүүчү сан көрүнүшүндө болуп калат. Ошентип изделүүчү сандардын байланышы = барабардыгы менен туюнтулат. Мындан төмөнкү теңдемелер системасын алабыз: . Бул системаны чыгарабыз ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .

Жообу: 54 жана 45.

2-маселе. Шарлар үч бурчтук формасында жайланышкан, биринчи катарда 1 шар, экинчисинде 2 шар, үчүнчүсүндө 3 шар ж. б. Эгер шарлар 15 ке барабар болсо, шарлар канча катарга жайланышкан?

Чыгаруу. Бул маселе арифметикалык прогрессияга берилген маселе, андыктан маселенин шартын арифметикалык прогрессиянын талаптарына ылайык карап чыгабыз.

Арифметикалык прогрессиянын биринчи мүчөсү = 1, айырмасы d =1 жана =15. Мындан катарлардын санын табуу үчүн n ди табуу керек.

Арифметикалык прогрессиянын алгачкы n мүчөсүнүн суммасын табуунун формуласы боюнча n ди аныктайбыз:

= n ⇒ 15 = n ⇒ 30 = n(n+1) ⇒ + n 30 = 0 ⇒

=-6, = 5. Мындан n дин оң маанисин гана ала алабыз: n = 5. Демек, шарлардын катарларынын саны 5 ке барабар.

Жообу: катарлардын саны 5.

3-маселе. 40г тузу бар аралашмага 200г сууну куйгандан кийин анын концентрациясы 10% ке азайып калды. Аралашмада канча грамм суу бар жана концентрациясы кандай болгон?

Чыгаруу. Бул эритме жана аралашмага берилген маселе, мында аралашмалардын проценттик катыштарын теңдештирүү аркылуу теңдеме түзүлөт.

Берилген 40г аралашманын концентрациясы х% болсун, анда анын туюнтулушу 40г болот, ал эми 200г суу кошулгандан кийинки концен-трациясы (х 10) % болуп, анын туюнтулушу 240г болот. Мындагы көрсөтүлгөн туюнтулуштар аралашмалардагы туздардын массалары, бул туздардын массалары барабар, ошондуктан мындан теңдеме түзөбүз:

40 = 240. Бул теңдемени чыгарабыз: х = (х-10) 6, мындан х=12.

Аралашманын концентрациясы 12% же андагы туздун массасы 40г = 4,8г ал эми суунун массасы 40 – 4,8 = 35,2г.

Жообу: аралашмада 35,2 г суу бар, анын концентрациясы 12% болгон.

4-маселе. Кубаттуулугу ар кандай болгон эки трактор биригип иштеп, 4 күндө эгин талаасынын син казышкан. Эгерде биринчи трактор бардык талааны экинчи тракторго караганда 5 күнгө ылдам казса, бардык талааны ар бир трактор өз өзүнчө канча күндө казат?

Чыгаруу. Бул маселе биргелешкен жумушка берилген маселе, мында эгин талаасын казуу убактысы бир бүтүн нерсе катары каралат, демек, ар бир трактордун кубаттуулугун белгилеп алып, маселенин шартына карата теңде-мелер түзүлөт.

х күн I трактордун эгин талаасын жалгыз казып бүтүрүү убактысы,

у күн II трактордун эгин талаасын жалгыз казып бүтүрүү убактысы.

I трактордун эгин талаасынын 4 күндө жалгыз казып бүтүргөн бөлүгү,

II трактордун эгин талаасынын 4 күндө жалгыз казып бүтүргөн бөлүгү. Бул эки трактор 4 күндө биргелешип эгин талаасынын бөлүгүн бүтүргөн, ошондуктан мындан + = теңдемесин алабыз.

Биринчи трактор бардык талааны экинчи тракторго караганда 5 күнгө ылдам казышынан у х = 5 теңдемесин алууга болот.

Демек, төмөнкү теңдемелер системасын түзүп, аны чыгарабыз: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ мында х, у тер оң гана маанилерди алат, ошондуктан х =10 жана у =15.

Жообу: 10 күн I трактордун талааын жалгыз казып бүтүрүү убактысы,

15 күн II трактордун талааны жалгыз казып бүтүрүү убактысы.

5-маселе. Эки пристандан аралыгы дарыя боюнча 40 км. Параход бул аралыкты 6 саатта барып жана кайта келет. Эгер параход токтоочу жерлерге 1,5 саат кетирсе жана анын өзүнүн ылдамдыгы 18км̸саат болсо дарыянын ылдамдыгын тапкыла.

Чыгаруу. Мында дарыянын агымынын ылдамдыгын х км/саат деп белгилеп алабыз. Анда пароходдун агым боюнча ылдамдыгы (18+х) км/саат, ал эми агымга каршы ылдамдыгы (18 - х) км/саат болот. Пароходдун агым боюнча жүргөн убактысы саат, агымга каршы жүргөн убактысы саат болот. Бардык жолго 6 саат кетирген жана токтоочу жерлерге 1,5 саат кеткен болсо, анда бул убакыттар боюнча жалпы теңдемени түзүүгө болот:

+ + 1,5 = 6

Алынган теңдемени чыгарабыз:

= 0,

720 – 40х + 720 + 40х – 4,5(324 – х²) = 0,

4,5х² -18=0,

х²- 4=0 ⇒ х 2. Мындан х=2, дарыянын агымынын ылдамдыгы 2 км/саат. Жообу:2 км/саат.

Өз алдынча иштөө үчүн тапшырмалар.

№ 1

Велосипедчен киши 15км аралыкты өтүү керек эле. Белгиленген уба-кыттан 15минута кеч чыккандыктан ал ылдамдыгын баштапкы ылдамдыкка караганда 2 км̸саатка жогорулаттып белгиленген жерге өз убагында жетип келди. Велосипедчен кандай ылдамдык менен жүргөн?

№ 2

Моторлуу кайык дарыянын агымы боюнча 56км агымга каршы 30км жол жүрүп, бардык жолго 9,5саат сапр кылды. Мунун ичинен 2,5саатты кайык тоокточу жерлерге кетирди. Эгер дарыянын ылдамдыгы 2км саат болсо, моторлуу кайыктын ылдамгын тапкыла.

№ 3

Эки колхоз бирге иштеп суу сактоочу курулушту 6күндө бүтө алат. Эгер алардын бири экинчисине караганда бул ишти 5күнгө эрте бүтө алса, ар бири жекече иштеп курулушту канча күндө бүтө алат.

№ 4

Эки участоктун ар биринен 180тоннадан картошка жыйналып алынды. Биринчи участоктун аянты экинчиге караганда 2ге ашык. Эгер экинчи учас-токтун ар бир гектарынан биринчи участоктун ар бир гектарына караганда 3тоннадан картошка аз жийналып алынса анда ар бир участоктун гектарынан канча тоннадан картошка жыйналып алынган.

№ 5

Параход агым боюнча 90км, агымга каршы 36км жол жүрдү, агым боюнча агымга каршы жүргөнгө караганда 2саат ашык сапр кылды. Эгер агым боюнча параход 1саатта агымга каршы жүргөнгөкараганда 56 кмге ашык жол жүрсө анда 1саатта параход агымга каршы канча км жол жүрөт?

№ 6

Эки автомобил бир эле мезгилде бир шаардын экинчи шаарга карай чыгышты. Биринчисинин ылдамдыгы экинчисине караганда саатына 10кмге ашык болгондуктан 1саатка эрте келди. Эгерде шаарлардын арсындагы аралык 560км болсо, ар бир автомобилдин ылдамдыгын тапкыла.

№ 7

Эки жумушчу бирге иштеп белгиленген жумушту 12күндө бүтөт. Эгер адегенде алардын бири иштеп, жумуштун жарымын аткаргандан кийин, анын ордуна экинчи жумушчу келип иштесе анда бул иш 25күндө бүтөт. Ар бир жумушчу бул ишти канча күндө бүтө алат.

№ 8

Кинотеатрда 300 орун болгон. Эгер ар бир катардагы орундардын са-нын 2көбөйтүп, ал эми катарлардын санын үчкө азайтса анда кинотеатрдагы орундардын саны 11ге аз болуп калат. Кинотеатрда канча катар болгон?

№ 9

Поезд жолдун биринчи 24 километрин өткөндөн кийин бир нече убакытка кармалып калды. Ошондуктан ал жолдун экинчи бөлүгүн өтүүө ылдамдыгын баштапкыга караганда 4кмге жолорулатты. Жолдун экинчи бөлүгү биринчи бөлүгүнө караганда 15кмге узун экендигине карабастан бул аралыкка биринчи аралыкка кетиргенге караганда 20минута гана көп сарп кылган. Поездин баштапкы ылдамдыгын тапкыла.

№ 10

Моторлуу кайык А пункттан агымга каршы 24км жол жүрдү, 30минута токтогондон кийин агым боюнча 27км жол жүрдү. Бул мезгилде кайык А дан чыккандан баштап эсептегенде 4саат убакыт сарп кылды. Эгер кайыктын акпаган суудагы ылдамдыгы 15км саат болсо, суунун агымынын ылдамдыгын тапкыла.

№ 11

Аралыгы 280км болгон А жана В шаарларынын арасын автобус кан-дайдыр бир орточо ылдамдык менен өттү. Эгер ар бир саатта 5кмден ашык жол жүрсө бул аралыкты 1саат эрте басып өтөөрүн айдоочу эсептеди А шаарынан В шаарына чейинки аралыкты машина канча саатта басып өткөн.

№ 12

15тонна жашылчаны ташуу үчүн белгилүү жүк көтөрүмдүүлүктөгү бир нече машинага заказ берилген. Мындай машиналар болбогондуктан гаражда жүк көтөрүмдүүлүгү жарым тоннага аз болгон машиналарды жиберди жана мындай машиналардан бирди ашык жиберди. Бул машиналардын ар бирине канча тоннадан жашылча жүктөлгөн?

№ 13

Лыжачан адам 30км аралыкты тээп өтүүгө тийиш эле. Ал жүрүштү 3 минутага кеч баштап ылдамдыгын белгилегенге караганда саатына 1кмге жогорулатып белгиленген жерге өз убагында келди. Лыжачан кандай ылдамдык менен жүргөн.

№ 14

Бир жумушчу 1саатта экинчисине караганда бир тетикти ашык чыгарат. Эгер биринчи жумушчу 1тетикти жасоого экинчиге караганда 2минута аз сарп кылса, ар бир жумушчу 1саатта канча тетиктен жасайт?

№ 15

Эки киши 270км жолду жөө басып өтүүкерек. Алардын бири экинчисине караганда күнүнө 6км ашык жүргөндүктөн бардык жолго 1,5күн аз керектелди. Бардык жолду ар бири канча күндө басып өткөн?

№ 16

Кайыктын 12км агым боюнча жана 5км агымга каршы жүрүүгө кетирген убактысы, кайыктын көл боюнча 18км аралыкты өтүүгө кетирген убактысына барабар. Эгерде агымдын ылдамдыгы 3км/саат болсо кайыктын өздүк ылдамдыгы кандай болгон.

№ 17

Эки токардын ар бири 40тан тетик даярдоо керек. Эгерде экичиси биринчиге караганда саатына 3тетик аз жасаса жана бардык ишке биринчиге караганда 3саат ашык жумшаса, анда биринчи токарь саатына канчадан тетик жасаган.

№ 18

Эки машинистканын ар бир 60тан бетти басуу керек. Эгер экинчиси биринчиге караганда саатын 2бет ашык басса жана бардык ишке 1саат 30минута аз сарп кылса, анда биринчи машинистка канча бетти баскан.

№ 19

Эгерде тик бурчтуктун узунун 3 эсе кичирейтип туурасын 3смге чоӊойтсо анда аянты баштапкы тик бурчтуктун аянтынан 5см²ка кичине болгон квадрат пайдаболот. Квадраттын жагын тапкыла.

№20

Тик бурчтуу үч бурчтуктун катеттеринин айырмасы 1смге барабар, ал эми бул үч бурчтуктун аянты 210см² болсо катеттерин тапкыла.