Свойства параллелограмма

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Определение. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны

По определению параллелограмма:

ABllCD, BCllAD

Какими свойствами обладает параллелограмм?

С

В

4

2

1

3

А

D

3

1

2

Теорема . Противолежащие стороны параллелограмма равны

Дано:

ABCD – параллелограмм

Доказать: AB=CD, BC=AD

С

В

4

Доказательство:

1.Проведем диагональ АС.

D

А

2.Рассмотрим Δ ABC и Δ CDA .

АС-общая сторона,

˪1=˪2 –накрест лежащие при ВС|| AD и секущей АС,

˪3=˪4 –накрест лежащие при АВ||С D и секущей АС.

Следовательно, Δ ABC = Δ CDA (по второму признаку равенства треугольников).

Отсюда AB=CD, BC=AD .

Теорема доказана.

Теорема. Противолежащие углы параллелограмма равны

ABCD - параллелограмм

˪ A= ˪ C

˪ B= ˪ D

Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения

делятся пополам.

ABCD - параллелограмм

АО=ОС

ВО= OD

Построение параллелограмма

Построение параллелограмма

Определение. Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону.

С

В

N

F

D

А

М

К

BN – высота к стороне CD ,

DF – высота к стороне AB ,

BM – высота к стороне AD ,

CK – высота к стороне AD

AT – высота к стороне CD

T

Задача. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно.

Решите задачу

Решение

1

2

7 см

P

N

70 

110 

4 см

4 см

110 

70 

K

M

7 см

Р = (7 + 4) · 2 = 22 (см)

Найдите периметр параллелограмма MNPK

М = Р = 70 

Найдите все углы параллелограмма MNPK

N = K = 180  - 70  = 110 

Задача. Найдите углы параллелограмма ABCD , если ˪ ABD=68 °, ˪ ADB=47 °.

Задача. Хватит ли 40 см проволоки, чтобы изготовить из неё

параллелограмм со сторонами 14 см и 8 см?