Стереометрия в заданиях ЕГЭ

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) в 11-м классе не только осуществл яю т контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения этих экзамен ов зада ю т ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения. Поэтому так важно, чтобы содержание ЕГЭ соответствовало целям и задачам математического образования школьников.

О собенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике.

Повышение роли наглядности. К каждой задаче предполагается да вать рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления.

Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур.

Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Нахождение расстояний до недоступных объектов, величин углов, объемов и площадей поверхностей реальных предметов и др.

Традиционно геометрические задачи подразделяются на :

- задачи на вычисление (углов, длин, площадей);

- задачи на доказательство ;

- задачи на построение .

Каждый из этих типов задач выполняет важную функцию и способствует достижению результатов обучени я .

В ЕГЭ должны быть, в той или иной мере, представлены геометрические задачи всех этих типов .

Углы

Помимо планиметрических задач на нахождение углов, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение углов в пространстве.

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC .

Ответ. 90 о .

2. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

3. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1 .

Ответ. 90 о .

4. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 .

Ответ. 60 о .

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1 .

Ответ. 60 о .

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BC .

Ответ. 60 о .

8. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

9. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 60 о .

10. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 30 о .

Длины

Помимо планиметрических задач на нахождение длин, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение расстояний в пространстве.

1. Найдите диагональ куба, все ребра которого равны .

Ответ. 3.

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 50.

3. В правильном тетраэдре ABCD , ребра которого равны 1, найдите квадрат расстояния между серединами противоположных ребер AB и CD .

Ответ. 0,5.

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния между точками A и С 1 .

Ответ. 4.

5. Найдите квадрат расстояния между противоположными вершинами октаэдра, ребра которого равны 1.

Ответ. 2.

6. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 19.

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 17.

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и D 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

10. Найдите расстояние от вершины B до прямой C 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 5.

11. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния от точки B до прямой A 1 E 1 .

Ответ. 2.

12. Найдите квадрат расстояния от вершины A до прямой CC 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 18.

Площади

Помимо планиметрических задач на нахождение площадей, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение площадей сечений пространственных фигур.

1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , B и С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 25.

2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AA 1 , BB 1 и B 1 C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 4, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 10.

3. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , C и S .

Ответ. 0,5.

4. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер SA , SB и SC .

Ответ. 0,25.

5. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Ответ. 0,25.

6. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AB , BC и A 1 B 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 0,5.

7. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , D и D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 2.

8. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания и высота которого равны 2.

Ответ. 4.

9. Найдите площадь S сечения, проходящего через вершины A , B и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. В ответе укажите .

Ответ. 10.

10. Найдите площадь S сечения, проходящего через середины ребер AD , BC и B 1 C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 3.

Объемы

Здесь предлагаются примеры задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур.

О ни проверя ю т развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций.

Для успешного решения эт их зада ч требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение. Если ребро куба равно a , то его диагональ равна . Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

Ответ. 8.

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8.

Ответ. 8.

3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Решение. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k , то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3 . Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз.

Ответ. 8.

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение 1. М ногогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов , объемы которых равн ы 2 и 4 . Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Решение 2. М ногогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Ответ. 6.

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 .

Ответ. 92.

7. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника рав ен 40 .

Ответ. 48.

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 .

Ответ. 38.

9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника рав ен 10 .

Ответ. 10.

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 0,5.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

12. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

13. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 9.

14. Найдите объем V части конуса , изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1.

15. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Решение. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3 . Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 .

Ответ. 3.

16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Ответ. 2 см.

17. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и . Их сумма равна . Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

Ответ. 10.

18. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32.

Ответ. 32.

19. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на .

Решение. Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36 , а объем, деленный на равен 36.

Ответ. 36.

Расстояния

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение расстояний в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1 . Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 = .

Следовательно, AE =

Ответ:

60

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой BD 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1 . Имеем, AB = 1, AD 1 = , BD 1 = .

Следовательно, AE = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

3. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины A до прямой SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1.

Ответ: 1.

4. В правильной пирамиде SABCD , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до прямой SD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно

Ответ:

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1 . Имеем,

B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BC 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1 . Имеем,

AB = 1; AC 1 = BC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

7. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой D 1 E 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1 . В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE = . Следовательно, AE 1 = 2.

Ответ: 2.

8. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1 , где H 1 – середина ребра B 1 G 1 . В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 =

Ответ:

9. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BE 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1 , в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 =

Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH =

Ответ:

10. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна

Ответ:

11. В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC .

Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , GF . В треугольнике DAG DA = 1,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

AG = DG = Следовательно, EF =

Ответ:

12. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO

имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH =

Ответ:

13. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем:

EF = 1, SE = SF = Высота SO равна

Следовательно, EH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

14. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Ответ:

15. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием.

Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = .

Следовательно, DE =

Ответ:

16. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 .

Ответ: 1.

17. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна .

Ответ: .

18. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна .

Ответ: .

19. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

20. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна .

Ответ: .

21. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно .

Ответ: .

22. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1 .

Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1 . Обозначим O - центр грани ABCD , E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1 . Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем

AA 1 = 1; AO = ; OA 1 = .

Следовательно, AE =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

23. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C .

Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1 . Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно

Ответ:

24. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1 .

Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна

Ответ:

25. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D.

Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 E . Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1 . Имеем AA 1 = 1, AE = , A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна .

Ответ: .

Углы

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение углов в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В кубе A … D 1 найдите косинус уг ла между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

86

2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =

. Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75 .

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2, B 1 E 1 = .

Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен .

5. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о . Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о .

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1 , и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1 . Искомый угол равен углу E 1 BG 1 . Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна . В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна . В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и . Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна . Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 = , BE 1 = , G 1 E 1 = . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о .

Решение 3 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, , 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, , 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о .

6. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 o .

7. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D .

Ответ:

8. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью

AB 1 и ABC 1 .

Ответ: 30 o .

9. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D .

Ответ: 90 o .

10. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью : AA 1 и AB 1 C 1 .

Ответ:

11. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между плоскостями ABC и AB 1 D 1 .

Ответ:

12. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C .

Решение: Обозначим O , O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем

OO 1 = 1; OC =

Следовательно,

13. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 .

Ответ: 60 о .

14. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 .

Ответ: 30 о .

15. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 .

Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о .

Ответ:

Планиметрия

Здесь предлагаются примеры планиметрических задач повышенного уровня трудности, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена и требующие развернутого решения.

1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a , причем r R и r + R a . Найдите AB .

Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R , O 2 – центр окружности радиуса r . Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная.

В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Ответ. или .

2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O , основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O .

В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9.

Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39.

Ответ. 9 или 39.

3. Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B . Известно, что угол AO 1 B равен 90 о , угол AO 2 B равен 60 о , O 1 O 2 = a . Найдите радиусы окружностей.

Решение. Возможны два случая: точки O 1 , O 2 расположены по разные стороны от прямой AB , точки O 1 , O 2 расположены по одну сторону от прямой AB . Обозначим r радиус окружности с центром O 1 . Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB . Тогда O 1 P = , O 2 P = .

В первом случае (рис. 1)

и, следовательно,

Во втором случае (рис. 2)

и, следовательно,

Ответ. или

4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O , угол AOC равен 60 о . В треугольник ABC вписана окружность с центром M . Найдите угол AMC .

Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC .

В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о .

Ответ. 105 о или 165 о .

5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC .

Решение. По теореме синусов Откуда

Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC .

Опустим перпендикуляр BH на прямую AC . Тогда BH = AB sin A = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1)

AC = Во втором случае (рис. 2) AC =

Ответ. или

6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что CH = AB . Найдите угол ACB .

Решение. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты треугольника ABC . Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1 . Возможны два случая расположения точки H .

В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1 , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о . Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о .

Ответ. 45 о или 135 о .

7. В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1 , O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC .

Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1 .

На BC , как на диаметре, опишем окружность с центром P . Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о . В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о . По теореме синусов находим R = .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о . По теореме синусов находим R = 24.

Ответ. или 24.

8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC .

Решение. Возможны два случая.

В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = 28.

Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = .

Ответ. 28 или .