Статья «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Абакана «Средняя общеобразовательная школа №4» республики Хакасия.

Составила: Элефтерьяди Ирина Владимировна, учитель математики первой валификационной категории.

г. Абакан, 2018

Цель занятия: формирование умения составлять квадратные уравнения для решения текстовых алгебраических, геометрических и физических задач; способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления; воспитывать уважение к ответам товарищей, культуру поведения при фронтальной работе, групповой работе, индивидуальной работе.

Планируемые результаты:

Личностные: умение ясно, точно излагать свои мысли в устной и письменной речи, креативность мышления; инициативность, находчивость, активность при решении математических задач; умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности, способствовать самооценке на основе критерия успешной учебной деятельности.

Метапредметные:

Регулятивные: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уроке адекватной ретроспективной оценки; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).

Коммуникативные: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им; учитывать разные мнения и интересы, обосновывать собственную позицию; координировать позиции в сотрудничестве.

Предметные:

• систематизировать и обобщить знания учащихся о квадратных уравнениях и этапах решения задач с помощью составления уравнения;

• научить основным подходам к применению средства достижения поставленной цели – универсальный алгоритм;

• актуализировать значимость универсального алгоритма при решении любой задачи (на уроке математики или вне стен школы).

Тип урока: формирование новых знаний и умений.

Оборудование урока: учебник «Алгебра 8 класс» под редакцией С.А.Теляковского, интерактивная доска или мультимедийная установка, компьютер.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Устная работа (Слайд 1)

1) 3х²-2х+3=0;
2) 6х+5х²-1=0;
3) -11х+х²-0,5=0;
4) 0,9-35х-х²=0;
5) х²+21+9х=0;
6) 15х²=13х+4;
7) 1,6х=х²- 96;
8) х²+8х=0;
9) 3х²+15=0;
10) 2х²=-4;
11) 28х²=0;
12) х(4-х)=0.

Назовите коэффициенты квадратного уравнения.

Укажите среди данных уравнений приведенные квадратные уравнения.

3. Вводное повторение. Письменный опрос с последующей взаимопроверкой.

Вариант 1. Заполните таблицу:

Вариант 2. Заполните таблицу:

Проверка:

Вариант 1. Заполните таблицу:

Вариант 2. Заполните таблицу:

4. Изучение нового материала (основные понятия).

Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к необходимости решения квадратных уравнений. Мы должны научиться проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить зависимость между данными задачи и неизвестными величинами. Составим схему решения задач:

1. Анализ условия.

2. Введение неизвестных величин.

3. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами.

4. Составление уравнения.

5. Решение уравнения, отбор корней по смыслу.

6. Поиск ответа на главный вопрос задачи и запись ответа.

Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения.

Задача1. Произведение двух натуральных чисел равно 36. Одно из чисел на 9 больше другого. Найти эти числа.

1. Анализируем условие задачи (вспомнить понятие натуральных чисел, понятие произведения)

2. Пусть меньшее из данных чисел равно х.

3. Тогда большее число равно х+9. По условию произведение этих чисел х(х+9) равно 36.

4. Составим уравнение х(х+9)=36.

5. Решим полученное квадратное уравнение х²+9х-36=0

D=9²-41 (-36)=225=15²,

х₁=(-9+15):2=3;

х₂=(-9-15):2=-12.

Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит, меньшее число равно 3.

1. Тогда большее число равно 3+9=12.
   Ответ: 3 и 12.

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника.

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 2 см меньше другого, а площадь этого треугольника равна 17,5 см².

Решение.

1. Анализ условия. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны, положительны.

2. Пусть х см-длина меньшего катета.

3. Тогда (х+2) см-длина большего катета.

4. Используя формулу площади треугольника, составим уравнение: х(х+2):2=17,5

5. Решим полученное уравнение: х²+2х=35

х²+2х-35=0

D=144, х₁=-7; х₂=5.

Так как длина катета - величина положительная, то только х=5 см удовлетворяет условию задачи.

1. Найдем длину второго катета: 5+2=7 см.

Ответ: 5см и 7 см.

Рассмотрим задачу с физическим содержанием.

Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение.

1. Анализ условия. Из курса физики известно, что, если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле h=V₀ t-gt²/2, где V_o(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с². Определенной высоты мяч может достигнуть дважды: при взлете и при падении вниз.

2. Пусть t (c) неизвестное время полета мяча до необходимой высоты.

3. Подставив значения h и V_o в формулу, получим 60=40t-5t².

4. Получили квадратное уравнение, решим его:

5t²-40t+60=0

t²-8t+12=0

D=16, t₁=2; t₂=6.

Мяч, брошенный вертикально вверх, окажется на высоте 60 м от земли дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Рассмотрим старинную задачу индийского математика XIIв Бхаскара, которая решается с помощью теоремы Пифагора, но полученное уравнение после упрощения оказывается линейным.

Задача 4. Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение.

1. Анализ задачи. Пусть отрезки АВ и АD изображают лотос в двух положениях. Точка А на дне, а точка C на поверхности озера. Получается прямоугольный треугольник ABC.

1. Пусть глубина озера АC = х футов.

2. Тогда высота цветка лотоса над уровнем водоема CD = ½ фута, значит, длина стебля АD= AD=х+1/2 фута.

3. По теореме Пифагора составим уравнение х² + 2² = (х + 1/2)²

4. Решим уравнение х² + 2² = х² +21/2х + (1/2)²

х² + 4 - х² –х -1/4 =0

х=3 ¾ (фута) – глубина озера. Получили реальный результат, являющийся ответом на главный вопрос задачи.

Ответ: глубина озера 3 ¾ фута.

5. Закрепление материала.

1. Групповая работа по решению задачи из учебника №559 с проверкой по образцу.

Задача: Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение: Пусть первое число х, тогда второе число (х+6). По условию задачи произведение чисел х(х+6) равно 187. Получаем уравнение х(х+6)=187. Решим его: х²+6х-187=0. D=784, х=11, х=-17. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 11. Второе число равно 11+6=17. Ответ: 11 и 17.

1. Самостоятельная работа с задачей №563, с последующей проверкой.

Задача: Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Решение. Пусть длина одного катета a см, тогда второй катет будет (23-a) см. По условию задачи площадь данного треугольника находится по формуле S=ab:2, где a и b – катеты. Получаем уравнение

a(23-a):2=60. D=49, a₁=8, a₂=15. Оба ответа подходят по смыслу. Находим второй катет для каждого корня: b₁=23-8=15, b₂=23-15=8. Получились две пары катетов: 8 и 15; 15 и 8. Значит, получились равные прямоугольные треугольники. Ответ: 8 см и 15 см.

6. Итоги урока. Рефлексия. Мы рассмотрели задачи, которые решаются с помощью квадратного уравнения, учились видеть связь между математикой и окружающей жизнью, использовали в решении знания геометрии и физики. Заполните, пожалуйста, таблицу ЗХУ сегодняшнего урока:

7. Домашнее задание. П.23, № 560 (базовый уровень), 564, 569(старинная задача).

Индивидуальное задание: Брат и сестра собирали малину. Когда сестра собрала 2/3 своего двухлитрового бидона, трехлитровый бидон брата был почти полон. Ребята поменялись бидонами и через некоторое время одновременно закончили сбор ягод. Во сколько раз брат работал быстрее сестры?

Спасибо за внимание!