Системы уравнений с несколькими неизвестными. Системы следствия

Системы уравнений с несколькими неизвестными

Цель: рассмотреть системы уравнений с несколькими неизвестными, содержащие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции и способы их решения

Основные понятия

Совокупность уравнений с несколькими неизвестными вида

называется системой уравнения.

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую упорядоченную пару чисел , при подстановке которой в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти множество всех ее решений или показать, что система решений не имеет.

Две системы уравнений называются равносильными, если совпадают множества всех их решений.

Несколько простейших утверждений о равносильности систем

1. Если уравнения системы поменять местами, то получится система, равносильная исходной.

2. Если в одном из уравнений системы перенести члены уравнения ( с противоположными знаками) из одной части уравнения в другую, то получится система, равносильная исходной.

3. Если обе части одного уравнения системы умножить на не равное нулю число, то получится система, равносильная исходной.

Несколько простейших утверждений о равносильности систем

4. Если одно из уравнений системы заменить суммой этого уравнения и какого – нибудь другого уравнения системы, то получится система, равносильная исходной.

5. Система, равносильная исходной системе, получается также, если в одном из уравнений:

А)привести подобные члены многочлена;

Б) применить формулы сокращенного умножения;

Методы решения систем уравнений

1. Метод подстановки ;

2. Метод сложения;

3. Графический метод.

Метод подстановки – основной для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Если в одном из уравнений системы выразить одно неизвестное через другое и подставить полученное выражение вместо первого неизвестного во второе уравнение, то получится система, равносильная исходной.

Задача: является ли пара чисел ( 1;2) решением системы

• А)

нет

• Б)

нет

Решаем в классе:

• № 14.7 (а,в)
• № 14.8 ( б)
• № 14.10 ( а)
• № 14. 11 ( б)

Решаем дома:

• № 14.7 (б)
• № 14.8 ( а)
• № 14.10 ( б)
• № 14. 11 ( а)

Система - следствие

Цель: ввести понятие системы – следствия и научиться решать системы уравнений с помощью алгебраических преобразований.

Основные понятия.

• Систему уравнений

называют следствием системы уравнений

если каждое решение второй системы является решением первой системы.

Справедливы следующие утверждения:

К системе – следствию приводят следующие преобразования:

а) замена в уравнении системы разности

нулем ( т.е.приведение подобных слагаемых);

б) возведение одного из уравнений в четную степень;

в) освобождение от знаменателя в одном из уравнений системы;

г) потенцирование хотя бы одного уравнения системы.

Решаем в классе:

• № 14.20 (а,в)
• № 14.21 ( а,)
• № 14.23 ( а)

Решаем дома:

• № 14.20 (б,г)
• № 14.21 ( б,г)
• № 14.23 ( б)

Решение систем уравнений с двумя переменными методом замены неизвестных

Цель: научиться решать некоторые системы с двумя переменными методом замены неизвестных

Работаем устно:

• Среди трех пар чисел (1;1), (1;5), и (5;1) найдите решения системы :

Укажите метод решения системы двух уравнений

Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении, которое мы приведем только для систем двух уравнений с двумя переменными

Пусть дана система уравнений

(1)

и пусть система

имеет к различных

решений:

Тогда множество решений системы (1) есть объединение всех решений каждой из к систем:

… ,

Решить систему уравнений

Решить систему уравнений

Домашнее задание

• № 14.28(б)
• № 14.29(б)
• № 14.31(б)
• № 14.32(б)