Системы уравнений с двумя неизвестными

Урок по теме: «Системы уравнений с двумя переменными»

Темой сегодняшнего занятия будут системы уравнений. В курсе алгебры мы с вами научились решать многие системы уравнений с двумя переменными. 

Мы знаем несколько методов решений систем уравнений: 

• метод подстановки,

• метод сложения,

• метод введения новых переменных,

• графический метод.

Нам осталось ввести некоторые обобщения и уточнения.

Определение. Если поставлена задача: найти такую пару чисел (х;y), причем эти числа удовлетворяют каждому уравнению p(x;y)=0 и u(x;y)=0, то эти уравнения образуют систему уравнений: {p(x;y)=0,u(x;y)=0..

Пара чисел (x;y), удовлетворяющая каждому уравнению системы, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений – найти все пары чисел (x;y), удовлетворяющие данной системе. 
При решении систем уравнений мы руководствуемся теми же принципами, что и при решении обычных уравнений. Постепенно переходим к более простым уравнениям, выполняя равносильные преобразования. К уравнениям следствиям мы также можем переходить, но не стоит забывать, что в этом случае мы должны проверить все полученные корни.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если решений нет у каждой из систем.

Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Метод введения новой переменой.
Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой, как правило, получившуюся систему решить гораздо проще.

Методы, приводящие к уравнениям следствиям:
1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
2. Умножение уравнений системы.
3. Преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения.

При использовании данных методов проверку корней следует проводить всегда!

Система уравнений может состоять и из трех уравнений, и вообще, любого количества уравнений. В этом случае нужно найти такие числа, которые удовлетворяют каждому уравнению системы. Обычно количество уравнений совпадает с количеством переменных в системе.

Пример. 
Решить систему уравнений: {xy−8=x3y,xy+6=y3x.

Решение. 
Для начала, перемножим уравнения системы:
(xy−8)(xy+6)=x2y2.
Мы можем заметить, что удобно ввести новую переменную u=xy, получили следующее уравнение: (u−8)(u+6)=u2.
Решаем его и находим u=−24 или ху=−24.
Получив более простую зависимость, перейдем к более простой системе: {xy−8=x3y,xy=−24.
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:
{xy−8=x3y,y=−24x.

⎧⎩⎨−24x∗x−8=x3−24x,x=−24y.

{−32=−x424,y=−24x.

{x4=768,y=−24x.

{x=±43–√4,y=∓63√4.

Получили две пары чисел: (43–√4; −63√4) и (-43–√4; 63√4).
Мы использовали метод умножения, поэтому нам придется проверить полученные корни.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪±43–√4∗(∓63√4)−8=(±43√4)3∓63√4,±43–√4∗(∓63√4)+6=(∓63√4)3±43√4{−32=−32,−18=−18.

Обе пары чисел удовлетворяют системе.

Пример.
Решить систему уравнений.
{x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y−−−√+3x−yx+y−−−√=4.

Решение. 
Рассмотрим второе уравнение системы и введем новую переменную: t=x+yx−y−−−√, тогда наше уравнение примет вид: t+3t=4.
Решив это уравнение, находим t=3 и t=1. Введя обратную замену, исходную систему можно свести к совокупности двух систем:

Решим каждую систему отдельно.
{x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y−−−√=3..
Возведем второе уравнение в квадрат: {x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y=9.
Так же из второго уравнения выразим х через у: {x2+4x−y2−3y=0,x=54y.
Воспользуемся методом подстановки: {(54y)2+5y−y2−3y=0,x=54y.
Решаем квадратное уравнение и находим корни: {y=0;y=−329,x=0;x=−409.
Со второй системой, проведя те же самые действия, получим следующие корни: {y=0;y=0,x=0;x=−4.

Нам осталось провести проверку решений. Поскольку, мы возводили в квадрат обе части, а это не самое надежное действие. Пара решений (−4;0) и (−409;−329) подходят. В этом, ребята, может убедиться сами, проведя проверку. 
А вот решение (0;0) не подходит, подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем деление на ноль, что недопустимо. Значит решение (0;0) является лишним.
Ответ: (−4;0) и (−409;−329).

Пример. 
Составить уравнение параболы y=ax2+bx+c, проходящей через точки: А(1;−2); B(−1;8); C(2;−1).

Решение. 
Мы знаем координаты х и у для трех точек, через которые проходит парабола, но мы не знаем коэффициенты a, b, c. С другой стороны, у нас есть три точки, а значит мы можем составить три уравнения с тремя неизвестными, то есть систему из трех уравнений: ⎧⎩⎨−2=a+b+c,8=a−b+c,−1=4a+2b+c).
Выразим из первого уравнения с: c=−2−a−b.
Подставим это выражение во второе уравнение: a−b−2−a−b=8.
Отсюда легко найти значение b=−5.
Фактически, выполнив равносильные преобразования, мы получили простую систему: c=−2−a−b,b=−5,−1=4a+2b+c.

c=3−a,b=−5,−1=4a−10+3−a.

c=1,b=−5,a=2.
Итак, уравнение параболы, проходящей через заданные точки, выглядит следующим образом: y=2x2−5x+1.

Пример.
Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 9, а сумма квадратов его цифр равна 29. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Решение. 
Составление математической модели.
Пусть х – цифра стоящая на первом месте в заданном числе, y – вторая цифра, z – третья цифра в требуемом числе.
Тогда, x+y+z=9 и x2+y2+z2=29.
Нам задано трехзначное число, тогда 100x – число сотен, 10y – число десятков, z- число единиц. 
100х+10у+z – как раз и получится наше число. 100z+10y+x – число записанное наоборот. Учитывая условия задачи, составим систему уравнений: ⎧⎩⎨x+y+z=9,x2+y2+z2=29,100x+10y+z+198=100z+10y+x.

Работа с составленной моделью.
Внимательно посмотрим на третье уравнение нашей системы:
100x+10y+z+198=100z+10y+x. Это уравнение легко преобразуется к виду: 99x−99z=−198 или x−z=−2.
z−2+y+z=9,x2+y2+z2=29,x=z−2.

y=11−2z,(z−2)2+(11−2z)2+z2=29,x=z−2.

y=11−2z,(z−2)2+(11−2z)2+z2=29,x=z−2.

y=11−2z,6z2−48z+96=0,x=z−2.

y=11−2z,z2−8z+16=0,x=z−2.

y=11−2z,(z−4)2=0,x=z−2.

y=3,z=4,x=2.
Ответ на вопрос, поставленный в задаче. Нам требуется найти заданное число, где х - первая цифра числа, y – вторая цифра числа, z – третья. Тогда наше число - 234.

Ответ: 234.

1. Решить систему уравнений: {xy−4=x3y,xy+2=y3x.

2. Решить систему уравнений: {xy+4y+2x−13=0,x+3yy+5−−−−√−3y+5x+3y−−−−√=−2.
3. Составить уравнение параболы y=ax2+bx+c, проходящей через точки: А(−1;6); B(2;9); C(1;2).
4. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 10, а сумма квадратов его цифр равна 38. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.