Системы уранений

Какие способы решения систем уравнений с двумя переменными нам известны?

• Метод подстановки ;
• метод алгебраического сложения ;
• метод введения новых переменных ;
• графический метод.

Если поставлена задача – найти такие пары (х; у) ,

которые одновременно удовлетворяют уравнению р(х; у) = 0

и уравнению q (х; у) = 0 , то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений

р(х; у) =0 ,

q (х; у) =0 .

Пару значений (х; у) , которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить,

что решений нет.

Система трех уравнений с тремя неизвестными

р(х; у; z ) =0

q (х; у; z ) =0

r (х; у; z ) =0

Две системы уравнений называют равносильными , если они имеют одни и те же решения или решений не имеют .

Равносильные способы решения систем уравнений:

• метод подстановки ;
• метод алгебраического сложения ;
• введения новых переменных .

Неравносильные преобразования:

• возведение в квадрат обеих частей уравнения ;
• умножение уравнений системы ;
• преобразования, приводящие к расширению области определения .

Проверка решений их подстановкой в исходную систему обязательна .

х + у + 2 z = 4 ,

2х + у + z =1 ,

х + 2у + z =3 .

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение.

4х + 4у + 4 z = 8 ;

х + у + z = 2 ;

(х + у+ z ) + у = 3 ;

2 + у = 3 ;

у = 1 ;

х + (х + у + z ) = 1 ;

х + 2 = 1 ;

х = – 1 ;

(х + у + z ) + z = 4 ;

2+ z = 4 ;

z = 2 ;

Ответ: ( – 1; 1; 2).

0) ; у = 1 – α ; Ответ: (α; 1 – α), α 0. " width="640"

х + у = 1 ,

log 3 х = log 3 (1 – у) .

Пример 2 . Решить систему уравнений

Решение.

у = 1 – x ,

log 3 х = log 3 х ;

log 3 х = log 3 х ;

х = α (α 0) ;

у = 1 – α ;

Ответ: (α; 1 – α), α 0.

Пример 3 . Решить систему уравнений

Решение.

(1; 1) , ( – 1; – 1) ;

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение.

Проверка.

(1; 0), ( – 2; 3) ;

х = – 2 , у = 3 :

1 = 1 – верное равенство ;

– неопределён ;

Ответ: (1; 0).