Сборник задач на тему: "Свободное падение тел"

Задачи на свободное падение тел.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В1.) Маленький шарик, брошенный под углом ^{  150} к горизонту с начальной скоростью V₀ 10 м/с, упруго ударяется о вертикальную стену, находящуюся на расстоянии L= 4 м от места броска. Плоскость стены перпендикулярна плоскости траектории шарика.

1. Найдите расстояние (по горизонтали) от места броска, на котором шарик поднимется на максимальную высоту.

2. На каком расстоянии от места броска шарик упадет на горизонтальную поверхность земли?

^{Ускорение} свободного падения принять равным g  10 м/с². м/с². Известно, что при любых ^{углах α справедливо} sin 2  2sin cos^.

1. ⁽МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В2.) Маленький шарик, брошенный под углом α к горизонту с начальной скоростью V₀=20 м/с упруго ударяется о вертикальную стену, находящуюся на расстоянии L= 15 м от места броска. После удара шарик падает на горизонтальную поверхность земли на расстоянии 5 м от стены. Плоскость стены перпендикулярна плоскости траектории шарика.

1. Найдите модуль скорости шарика при ударе о землю.

2. Найдите угол α, под которым был брошен шарик.

Ускорение свободного падения принять равным углах α справедливо g=10 м/с². Известно, что при любых ^{углах α справедливо} sin 2  2sin cos^.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В3.) Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли с некоторой скоростью, упал на Землю через 2 с. Через какое время упадет камень, брошенный вертикально вверх с той же скоростью, на Луне? Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В4.) Максимальная высота подъема камня, брошенного вертикально вверх с некоторой скоростью с поверхности Земли, оказалась 9 м. Найти максимальную высоту подъема камня, брошенного вертикально вверх с той же скоростью на Луне. Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В5.) Камень брошен с поверхности Земли под углом к горизонту со скоростью V₀=10 м/с. В верхней точке траектории скорость камня оказалась V=16 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения g=10 м/с².

1. Найти вертикальную составляющую скорости камня при броске.

2. Найти время полета камня до верхней точки траектории.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В5.) На какой высоте, считая от поверхности Земли, ускорение свободного падения на 19% меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли равен R.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В6.) Камень брошен с поверхности Земли под углом к горизонту со скоростью V₀=10 м/с. В верхней точке траектории скорость камня оказалась V=8 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения g=10 м/с².

1. Найти вертикальную составляющую скорости камня при броске.

2. Найти максимальную высоту подъёма камня.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 9 класс. В6.) На какой высоте, считая от поверхности Земли, ускорение свободного падения на 36% меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли равен R.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2017 год. 9 класс. В2.) Мальчик бьет ногой по мячу, который лежит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии от вертикальной стены дома. Сразу после удара мяч полетел под углом α = 60⁰ к горизонту, затем упруго ударился о стену дома на некоторой высоте от поверхности земли и упал на землю на то же место, где лежал вначале. При этом время полета мяча от момента удара ногой до падения на землю оказалось t₀=1 с.

1. Найти высоту H от поверхности земли до места удара мяча о стену дома.

2. Найти скорость мяча сразу после удара ногой.

3. На каком расстоянии L от стены лежал мяч вначале?

Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2018 год. 9 класс. В1.) Пушка 1 установлена так, что может производить выстрелы снарядами под углом α к горизонту с неизменной (от выстрела к выстрелу) начальной скоростью ^V0^{. Пушка 2 расположена на горизонтальной поверхности Земли, на одной} вертикали с точкой, в которой снаряды, выпущенные из пушки 1, достигают максимальной высоты. Пушка 2 может производить выстрелы снарядами вертикально вверх с некоторой другой неизменной (от выстрела к выстрелу) начальной скоростью.

1. Из пушек 1 и 2 поочередно выпускаются снаряды. Найти начальную скорость снарядов, выпускаемых из пушки 2, если максимальная высота их подъёма вдвое больше, чем максимальная высота подъёма снарядов, выпускаемых из пушки 1.

2. Через какое время после выстрела из пушки 1 должна выстрелить пушка 2, чтобы произошло столкновение снарядов?

Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2018 год. 9 класс. В2.) Пушка 1 установлена так, что может производить выстрелы снарядами под углом α к горизонту с неизменной (от выстрела к выстрелу) начальной скоростью ^V0^{. Пушка 2 расположена на горизонтальной поверхности Земли, на одной вертикали с точкой, в} которой снаряды, выпущенные из пушки 1, достигают максимальной высоты. Пушка 2 может производить выстрелы снарядами вертикально вверх с некоторой другой неизменной (от выстрела к выстрелу) начальной скоростью.

1. Из пушек 1 и 2 поочередно выпускаются снаряды. Найти начальную скорость снарядов, выпускаемых из пушки 2, если максимальная высота их подъёма в четыре раза больше, чем максимальная высота подъёма снарядов, выпускаемых из пушки 1.

2. Через какое время после выстрела из пушки 1 должна выстрелить пушка 2, чтобы произошло столкновение снарядов?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2018 год. 9 класс. В3.) Девочка бросает мячик вертикально вверх. Когда мячик достигает максимальной высоты своего полёта, девочка бросает вверх второй мячик, с той же скоростью и с того же места, что и первый. В результате мячики сталкиваются на высоте H=1,8 м от места броска. Какой максимальной высоты H₀, считая от места броска, достигал в своём полёте первый мячик? Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2018 год. 9 класс. В4.) Мальчик бросает мячик вертикально вверх. Когда мячик достигает максимальной высоты своего полёта, мальчик бросает вверх второй мячик, с той же скоростью и с того же места, что и первый. В результате мячики сталкиваются на высоте H=2,1 м от места броска. Какой максимальной высоты H₀, считая от места броска, достигал в своём полёте первый мячик? Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В1.)

Плоский склон холма образует угол   30 с горизонтом. Мяч, брошенный с поверхности склона в горизонтальном направлении «вниз» по склону через   0,5 с движется со скоростью V₁ = 13 м/с. Ускорение свободного падения g 10 м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1) Найдите начальную скорость V₀ мяча.

2) Через какое время t₁ после старта мяч находился на максимальном расстоянии от поверхности склона?

3) На каком максимальном расстоянии H от поверхности склона находился мяч в этот момент?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В2.)

Плоский склон холма образует угол   45 с горизонтом. Мяч, брошенный со склона в горизонтальном направлении «вниз» по склону, через   0,9 с движется со скоростью V₁ = 15 м/с. Ускорение свободного падения g 10 м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1) Найдите начальную скорость V₀ мяча.

2) Через какое время T после старта мяч упадет на склон?

3) На каком расстоянии S от точки старта мяч упадет на склон?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В3.)

На плоском склоне с уклоном   30 бросают мяч с начальной скоростью V 10 м/с перпендикулярной склону. Точка старта находится на поверхности склона. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) Через какое время T мяч упадет на склон первый раз?

2) На каком расстоянии S₁ от точки старта мяч упадет на склон первый раз? 3) На каком расстоянии S₂ от точки старта мяч упадет на склон во второй раз после упругого соударения с поверхностью склона?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В4.)

На плоском склоне с уклоном   45 бросают мяч с начальной скоростью V  20 м/с перпендикулярной склону. Точка старта находится на поверхности склона. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) Через какое время T после старта мяч будет находиться на максимальном расстоянии от склона?

2) Найдите скорость V1 мяча перед соударением со склоном.

3) На каком расстоянии 3 S от точки старта мяч упадет на склон после двух абсолютно упругих ударов о склон?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В1.)

Плоский склон горы образует с горизонтом угол   30⁰. Из миномета, расположенного на склоне, производят выстрел, под таким углом  к поверхности склона, что продолжительность (по времени) полета мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S  0,8 км от точки старта. 1) Под каким углом  к поверхности склона произведен выстрел?

2) Найдите величину V₀ начальной скорости мины. Ускорение свободного падения g 10 м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В2.)

Плоский склон горы образует с горизонтом угол , sin0,6. Из миномета, расположенного на склоне, производят выстрел, под таким углом  к поверхности склона, что продолжительность (по времени) полета мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S 1,8 км от точки старта.

1) Под каким углом  к поверхности склона произведен выстрел?

2) Найдите максимальную дальность L стрельбы из такого миномета на горизонтальной поверхности. Ускорение свободного падения g 10 м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

2. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В3.)

Мяч, отбитый теннисистом на высоте h  0,5 м, поднимается на максимальную высоту H  3 м и за оставшееся время полета перемещается по горизонтали на S 12 м.

1) Через какое время T после удара мяч поднимется на максимальную высоту?

2) Найдите начальную скорость V₀ мяча. Ускорение свободного падения g 10 м/c².

Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В4.)

Мяч, отбитый теннисистом на высоте h0,75 м, поднимается на максимальную высоту H  3,2 м и за оставшееся время полета перемещается по горизонтали на S16 м.

1)Через какое время T после прохождения высшей точки траектории мяч упадет на площадку

2) Найдите tg, здесь  — угол, который вектор скорости мяча составляет с горизонтальной плоскостью сразу после удара.

Ускорение свободного падения g 10 м/c². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

29. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 9 класс. В1.)

Девочка бросает вертикально вверх мяч. В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, девочка бросает вертикально вверх второй мяч, с того же места и с той же скоростью, что и первый. В результате мячи столкнулись через время  после броска второго мяча. Сопротивление воздуха не учитывать.

1) Какой максимальной высоты, считая от места броска, достиг первый мяч?

2) На какой высоте, считая от места броска, столкнулись мячи?

3) Найти отношение путей, пройденных мячами до столкновения.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 9 класс. В2.)

Девочка бросает вертикально вверх мяч. В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, девочка бросает вертикально вверх второй мяч, с того же места и с той же скоростью, что и первый. В результате мячи столкнулись через время  после броска первого мяча. Сопротивление воздуха не учитывать.

1) Найти время полета второго мяча до столкновения.

2) Какой максимальной высоты, считая от места броска, достиг первый мяч?

3) С какой скоростью были брошены мячи?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 9 класс. В3.)

Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора в том же направлении, что и точки на экваторе. Радиус орбиты спутника в два раза больше радиуса Земли R  6400 км. Ускорение свободного падения у поверхности планеты g 10 м/с².

1) Найдите период T обращения спутника. В некоторый момент времени расстояние от наблюдателя на экваторе до спутника наименьшее.

2) Через какое время T₁ расстояние между наблюдателем и спутником впервые будет расти с наибольшей скоростью?

3) Найдите эту скорость V.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 9 класс. В4.)

Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении противоположном направлению движения точек на экваторе Земли. Радиус орбиты спутника в 2 раз больше радиуса Земли R = 6400 км. Ускорение свободного падения у поверхности планеты g 10 м/с².

1) Найдите период T обращения спутника. В некоторый момент времени расстояние от наблюдателя на экваторе до спутника наибольшее.

2) Через какое время T₁ расстояние между наблюдателем и спутником впервые будет сокращаться с наибольшей скоростью?

3) Найдите эту скорость V.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В1.)

Школьник бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 12 м/с.

1) Через какое время t после старта скорость камня будет равна по величине V0/3?

2) На какой высоте h, отсчитанной от точки старта скорость камня будет равна по величине V₀/3?

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В1.)

Спутник обращается по круговой орбите вокруг планеты. Высота орбиты h = 0,5R, здесь R – радиус планеты. Плотность планеты . Гравитационная постоянная G. Объём шара 𝑉 = 4/3 𝜋𝑅³.

1) Найдите ускорение g свободного падения на расстоянии 2R от центра планеты.

2) Найдите период T обращения спутника.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В2.)

Школьник бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 10 м/с.

1) Через какое время t после старта скорость камня будет равна по величине V₀/2?

2) На какой высоте h, отсчитанной от точки старта скорость камня будет равна по величине V₀/2?

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В2.)

Спутник обращается по круговой орбите вокруг планеты. Высота орбиты h = R, здесь R – радиус планеты. Плотность планеты . Гравитационная постоянная G. Объём шара 𝑉 = 4/3 𝜋𝑅³.

1) Найдите ускорение g свободного падения на расстоянии 3R от центра планеты.

2) Найдите период T обращения спутника.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В3.)

С высокой башни экспериментатор бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 10 м/с. После достижения максимальной высоты камень пролетает рядом с экспериментатором и падает вниз на землю.

1) Через какое время t после броска величина скорости камня будет равна 2V0?

2) Найдите путь S, пройденный камнем от момента броска до момента достижения камнем скорости 2V0.

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В3.)

У двух планет Альфа-1 и Альфа-2 одинаковые радиусы R, а плотности планет равны, соответственно, ₁ =  и ₂ = 2. Гравитационная постоянная G. Объём шара 𝑉 = 4/3 𝜋𝑅³.

1) Найдите ускорение g свободного падения на расстоянии 4R от центра планеты Альфа-1.

2) Найдите отношение T₂/T₁ периодов обращения спутников, которые движутся по круговым орбитам вокруг данных планет. Высоты орбит спутников равны, соответственно h₁ = 0,5R и h₂ = 1,5R.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В4.)

С высокой башни экспериментатор бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 12 м/с. После достижения максимальной высоты камень пролетает рядом с экспериментатором и падает вниз на землю.

1) Через какое время t после броска величина скорости камня будет равна 3V₀?

2) Найдите путь S, пройденный камнем от момента броска до момента достижения камнем скорости 3V₀.

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 9 класс. В4.)

У двух планет Альфа-1 и Альфа-2 одинаковые радиусы R, а плотности планет равны, соответственно, ₁ =  и ₂ = 3. Гравитационная постоянная G. Объём шара 𝑉 = 4/3 𝜋𝑅³.

1) Найдите ускорение g свободного падения на расстоянии 5R от центра планеты Альфа-1.

2) Найдите отношение T₂/T₁ периодов обращения спутников, которые движутся по круговым орбитам вокруг данных планет. Высоты орбит спутников равны, соответственно h₁ = R и h₂ = 2R.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В1.)

Футболист на тренировке наносит удары по мячу, лежащему на горизонтальной площадке, и направляет мяч к вертикальной стенке. После абсолютно упругого соударения со стенкой мяч падает на площадку. Наибольшая высота, на которой мяч находится в полете, 𝐻 = 16,2 м. Расстояние от точки старта до стенки в 5 раз больше расстояния от стенки до точки падения мяча на площадку.

1) На какой высоте ℎ происходит соударение мяча со стенкой?

2) Найдите продолжительность t₁ полета мяча от старта до соударения со стенкой. Допустим, что в момент соударения мяча со стенкой на той же высоте h, стенка движется навстречу мячу со скоростью U  2 м/с.

3) Найдите расстояние d между точками падения мяча на площадку в случаях: стенка покоится, стенка движется.

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Соударения мяча со стенкой абсолютно упругие. Траектории мяча лежат в вертикальной плоскости перпендикулярной стенке.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В2.)

Футболист на тренировке наносит удары по мячу, лежащему на горизонтальной площадке, и направляет мяч к вертикальной стенке. После абсолютно упругого соударения со стенкой на высоте ℎ = 5,4 м мяч падает на площадку. Расстояние от точки старта до стенки в 3 раза больше расстояния от стенки до точки падения мяча на площадку.

1) Найдите наибольшую высоту 𝐻, на которой мяч находится в полете.

2) Через какое время 𝑡1 после соударения со стенкой мяч упадет на поле? Допустим, что в момент соударения мяча со стенкой на высоте h, стенка движется навстречу мячу. Расстояние между точками падения мяча на поле в случаях: стенка покоится, стенка движется, 𝑑 = 1,8 м.

3) Найдите скорость 𝑈 стенки в момент соударения. Ускорение свободного падения g=10 м/с².

Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Соударения мяча со стенкой абсолютно упругие. Траектории мяча лежат в вертикальной плоскости перпендикулярной стенке.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В3.)

Камень брошен с башни высотой 𝐻 = 25,6 м под углом 𝛼 к горизонту, tg𝛼 = 1,6 (см. рис.). Последние по вертикали h 16 м камень пролетел за время 𝜏 = 0,8 с.

1) Через какое время 1 t после старта камень находился на максимальной высоте?

2) Найдите горизонтальное перемещение S камня за время полета.

Ускорение свободного падения g =10 м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Все высоты отсчитываются от горизонтальной поверхности.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В4.)

М яч брошен с башни высотой ℎ = 14 м под углом к горизонту (см. рис.). Начальная скорость мяча 𝑉₀ = 13 м/с, продолжительность полета мяча Т = 2,8 с.

1) Найдите наибольшую высоту 𝐻, на которой мяч находился в полете. Все высоты отсчитываются от горизонтальной поверхности.

2) На каком расстоянии 𝑑 от точки старта мяч упадет на горизонтальную поверхность?

Ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В1.)

Школьник наносит удар по мячу, лежащему на горизонтальной площадке. Модуль скорости мяча через 𝑡₁ = 1 с и 𝑡₂ = 2 с после старта одинаков. За этот промежуток времени вектор скорости повернулся на угол 2𝛽 = 60⁰.

Ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с².

1. Найдите продолжительность T полета от старта до падения на площадку.

2. Найдите максимальную высоту H полета.

3. Найдите радиус R кривизны траектории в момент времени 𝑡₁ = 1 с.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В2.)

Футболист наносит удар по мячу, лежащему на горизонтальной площадке. Модуль скорости мяча через 𝑡₁ = 0,5 с и 𝑡₂ = 1,5 с после старта одинаков. За этот промежуток времени вектор скорости мяча повернулся на угол 2𝛽 = 90⁰. Ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с².

1. Найдите продолжительность T полета от старта до подъема на максимальную высоту.

2. Найдите дальность L полета от старта до падения на площадку.

3. Найдите радиус R кривизны траектории в малой окрестности высшей точки.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В3.)

Находящийся на горизонтальной площадке фейерверк разрывается на множество осколков, летящих с одинаковой по модулю скоростью во всевозможных направлениях. Через время 𝜏 = 1 c после разрыва один из осколков находился на высоте ℎ = 15 м и на расстоянии 𝑙 = 34,6 м по горизонтали от точки старта.

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Определите продолжительность 𝑇 полета этого осколка.

2. Найдите наибольшую высоту полета этого осколка.

3. Найдите начальную скорость 𝑉0 осколков.

4. Найдите площадь 𝑆 круга, на который упали осколки.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В4.)

Находящийся на горизонтальной площадке фейерверк разрывается на множество осколков, летящих с одинаковой по модулю скоростью во всевозможных направлениях. Через время 𝜏 = 3 c после разрыва один из осколков находится на высоте ℎ = 15 м и на расстоянии 𝑙 = 104 м по горизонтали от точки старта.

Ускорение свободного падения g = 10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Через сколько 𝑡₁ секунд после старта этот осколок находился на максимальной высоте?

2. На каком расстоянии S от точки старта этот осколок упал на площадку?

3. Найдите начальную скорость 𝑉₀ осколков.

4. Найдите наибольшую высоту H полета осколков.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 10 класс. В5.)

Камень, брошенный мальчиком с горизонтальной поверхности Земли под углом   30⁰ к горизонту, через t₀  0,8 с перелетает через забор с горизонтально направленной скоростью, почти касаясь забора.

Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) Найти начальную скорость камня.

2) Найти высоту забора.

3) Найти расстояние от мальчика до забора.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2016 год. 10 класс. В6.)

Мальчик бросил камень с горизонтальной поверхности Земли под углом   30⁰ к горизонту. Максимальная высота подъема камня оказалась H  5 м.

Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) Найти начальную скорость камня.

2) Найти время полета до максимальной высоты подъема.

3) Найти расстояние от мальчика до места падения камня.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 10 класс. В1.)

Пушка установлена на плоском склоне горы, образующем угол   30⁰ с горизонтом. При выстреле «вверх» по склону снаряд падает на склон на расстоянии S₁ = 700 м от места выстрела. В момент падения скорость снаряда перпендикулярна поверхности склона. Пушку разворачивают на 180⁰ и производят второй выстрел «вниз» по склону. Затем пушку перемещают на горизонтальную поверхность и производят третий выстрел. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Угол наклона ствола к поверхности, с которой стреляют, при всех выстрелах одинаков.

1) На каком расстоянии S₂ от места второго выстрела снаряд упадет на склон?

2) Найдите дальность L стрельбы при третьем выстреле.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 10 класс. В2.)

При стрельбе из пушки на горизонтальной поверхности дальность стрельбы L  3000 м. Пушку устанавливают на плоском склоне горы, образующем угол  cos  0,8 с горизонтом и производят первый выстрел «вверх» по склону. В момент падения скорость снаряда перпендикулярна поверхности склона. Пушку разворачивают на 180⁰ и производят второй выстрел «вниз» по склону. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Угол наклона ствола к поверхности, с которой стреляют, при всех выстрелах одинаков.

1) На каком расстоянии S₁ от места первого выстрела снаряд упадет на склон?

2) На каком расстоянии S₂ от места второго выстрела снаряд упадет на склон?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 10 класс. В3.)

Теннисист тренируется на горизонтальной площадке, посылая мяч к вертикальной стенке. В первом случае мяч летит практически с уровня земли с начальной скоростью V₀  22 м/с под углом   30⁰ к горизонту и ударяется в стенку. Во втором случае мяч стартует из той же точки со скоростью V₀/2 под углом 2 к горизонту и ударяется в ту же точку стенки. Соударения мяча со стенкой абсолютно упругие. Мяч движется в вертикальной плоскости перпендикулярной стенке. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) На какой максимальной высоте H находился мяч в полете в первом случае?

2) На какой высоте h мяч ударяется в стенку?

3) Через какое время  после удара о стенку мяч упадет на площадку во втором случае?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 10 класс. В4.)

Теннисист тренируется на горизонтальной площадке, посылая мяч к вертикальной стенке. В первом случае мяч после удара ракеткой летит практически с уровня земли со скоростью V₀ 18 м/с под углом   30⁰ к горизонту и ударяется в стенку. Во втором случае мяч стартует из той же точки со скоростью V₀/2 под углом 2 к горизонту и ударяется в ту же точку стенки. Соударения мяча со стенкой абсолютно упругие. Мяч движется в вертикальной плоскости перпендикулярной стенке. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g 10 м/с².

1) Через какое время  мяч находится на максимальной высоте в первом случае?

2) На какой высоте h мяч ударяется в стенку?

3) На каком расстоянии L от стенки мяч упадет на площадку во втором случае?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 10 класс. В1.)

Камень бросают с вышки со скоростью V₀  8 м/с под углом   60⁰ к горизонту. В полете камень все время приближался к горизонтальной поверхности Земли и упал на нее со скоростью 2,5V₀.

1) Найти вертикальную компоненту скорости камня при падении на Землю.

2) Найти время полета камня.

3) Найти горизонтальное смещение камня за время полета.

Ускорение свободного падения принять g 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 10 класс. В2.)

Гайку бросают с вышки со скоростью V₀ 10 м/с под углом   30⁰ к горизонту. В полете гайка все время приближалась к горизонтальной поверхности Земли и упала на нее со скоростью 2V₀.

1) Найти вертикальную компоненту скорости гайки при падении на Землю.

2) Найти время полета гайки.

3) С какой высоты была брошена гайка?

Ускорение свободного падения принять g 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 10 класс. В3.)

Мальчик бросает стальной шарик с вышки со скоростью V₀ 10 м/с под углом   30⁰ к горизонту. В полете шарик все время приближался к горизонтальной поверхности Земли и упал на нее со скоростью 2V₀.

1) Найти вертикальную компоненту скорости шарика при падении на Землю.

2) Найти время полета шарика.

3) С какой высоты был брошен шарик?

Ускорение свободного падения принять g 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 10 класс. В1.)

Мальчик бросает вертикально вверх мяч. В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, мальчик бросает вертикально вверх второй мяч, с того же места и с той же скоростью, что и первый. В результате мячи столкнулись на высоте H от места броска.

Сопротивление воздуха не учитывать.

1) Найти время полета второго мяча до столкновения.

2) Найти начальную скорость мячей.

3) Какой путь прошел первый мяч до столкновения?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 10 класс. В2.)

Мальчик бросает вертикально вверх мяч со скоростью V₀. В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, мальчик бросает вертикально вверх второй мяч, с того же места и с той же скоростью, что и первый. В результате мячи столкнулись на некоторой высоте от места броска.

Сопротивление воздуха не учитывать.

1) Найти время полета первого мяча до столкновения.

2) Найти отношение времени полета первого мяча к времени полета второго мяча до столкновения.

3) На какой высоте от места броска столкнулись мячи?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 10 класс. В3.)

Дальность полета камня, брошенного под углом   60⁰ к горизонту, равна S 17 м.

1. Найдите начальную скорость V₀ камня.

Через некоторое время по траектории камня летит модель самолета массой m 1 кг с постоянной по величине скоростью V=V₀/4.

1. В высшей точке траектории найдите вертикальную составляющую силы F, с которой воздух действует на модель самолета.

Ускорение свободного падения g 10 м/с². Силу сопротивления воздуха в процессе полёта камня считайте пренебрежимо малой. Точки старта и окончания полета лежат в одной горизонтальной плоскости.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2021 год. 10 класс. В4.)

Максимальная высота полета камня, брошенного под углом   45⁰ к горизонту, H 10 м.

1. Найдите начальную скорость V₀ камня.

Через некоторое время по траектории камня летит с постоянной по величине скоростью модель самолета. В высшей точке траектории равнодействующая сил, приложенных к модели самолета, в два раза меньше силы тяжести.

1. Найдите величину V скорости модели самолета.

Ускорение свободного падения g 10 м/с². Силу сопротивления воздуха в процессе полёта камня считайте пренебрежимо малой.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 10 класс. В3.)

Камень брошен с некоторой скоростью V₀ под углом  = 45⁰ к горизонту (см. рис.). Максимальная высота полета камня H =10 м. В конце полета камень падает на горизонтальную крышу, высота которой над точкой старта h = 7 м.

1) Найдите начальную скорость V₀ камня.

2) Найдите cos  (см. рис.), здесь  - угол, который вектор скорости образует с горизонтом в момент завершения полета.

Ускорение свободного падения g =10 м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2022 год. 10 класс. В4.)

Камень брошен с некоторой скоростью V₀ под углом  к горизонту, cos  = 0,6 (см. рис.). Через  = 0,8 с камень находится на максимальной высоте. В конце полета камень падает на горизонтальную крышу. В момент падения на крышу вектор скорости образует с горизонтом угол  такой, что cos  = 0,8.

1) Найдите начальную скорость V₀ камня.

2) На какой высоте h, отсчитанной от точки старта, завершился полет камня?

Ускорение свободного падения g =10 м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 10 класс. В1.)

Мяч, посланный теннисистом вертикально вверх, поднимается на максимальную высоту за 𝑇 = 2 с.

1) Найдите начальную скорость 𝑉₀ мяча.

2) Теннисист посылает мяч с начальной скоростью V0 под различными углами к горизонту в направлении высокой вертикальной стенки, находящейся на расстоянии 𝑆 = 20 м от места броска. На какой максимальной высоте h мяч ударится в стенку?

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Мяч движется в плоскости перпендикулярной стенке. Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым. Все высоты отсчитываются от точки старта.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 10 класс. В2.)

Футболист наносит удар по мячу, лежащему на горизонтальной площадке. Вектор начальной скорости мяча образует угол 𝛼 = 45⁰ с горизонтальной плоскостью. Горизонтальное перемещение мяча за время полета 𝐿 = 20 м.

1) Найдите начальную скорость 𝑉₀ мяча. Если футболист направляет мяч под различными углами к горизонту из той же точки с начальной скоростью 𝑉₀ к высокой вертикальной стенке, то наибольшая высота, на которой происходит соударение мяча со стенкой, равна 𝐻 = 3,6 м.

2) На каком расстоянии 𝑆 от точки старта находится стенка?

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Мяч движется в плоскости перпендикулярной стенке. Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 10 класс. В3.)

Снаряд летит по вертикали и разрывается в высшей точке траектории на множество осколков, летящих во всевозможных направлениях с равными по модулю скоростями. Через 𝑡₁ = 0,4 c после разрыва все осколки находятся в полете, один из осколков движется горизонтально, его импульс 𝑃₁ = 30 кг·м/с. Масса снаряда 𝑀 = 10 кг.

1) Найдите модуль P₂ суммарного импульса P₂ всех остальных осколков в этот момент времени. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

2) Найдите угол  между векторами 𝑃₂ и 𝑔 в этот момент времени. В ответе укажите значение тригонометрической функции угла  : sin𝛼 или tg𝛼. Наибольшее расстояние от точки разрыва до точки падения осколков на горизонтальную поверхность 𝑑 = 80 м.

3) Найдите продолжительность 𝑇 полета таких осколков. Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 10 класс. В4.)

Снаряд массой 𝑀 = 5 кг летит по вертикали и разрывается в высшей точке траектории на множество осколков, летящих во всевозможных направлениях с равными по модулю скоростями. Через 𝑡₁ = 0,6 c после разрыва все осколки находятся в полете, в этот момент один из осколков движется по вертикали вниз, импульс осколка 𝑃₁ = 50 кг·м/с.

1) Найдите модуль P₂ суммарного импульса 𝑃₂ всех остальных осколков в этот момент времени. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

2) Найдите угол  между векторами 𝑃₂ и 𝑔 в этот момент времени. Продолжительность полета осколков, упавших на горизонтальную поверхность на максимальном расстоянии от точки разрыва, 𝑇 = 3 с.

3) На каком максимальном расстоянии 𝑑 от точки разрыва такие осколки упали на горизонтальную поверхность?

Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 10 класс. В1.)

Плоская поверхность склона образует с горизонтом угол 𝛼 = 30⁰. У подножья склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшая продолжительность полета одного из осколков 𝑇 = 9 с.

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Найдите начальную скорость 𝑉₀ осколков.

2. На каком максимальном расстоянии S от точки старта упадет осколок на склон?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 10 класс. В2.)

У подножья склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшее перемещение за время полета осколков, упавших на горизонтальную поверхность, равно S₁ =160 м, упавших на склон, S₂ =120 м.

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Найдите начальную скорость 𝑉₀ осколков.

2. Найдите угол 𝛼, который плоская поверхность склона образует с горизонтом.

63. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 10 класс. В5.)

Плоская поверхность склона образует с горизонтом угол 𝛼 такой, что sin 𝛼 = 0,6 (см. рис.). У вершины склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшая продолжительность полета осколка, упавшего на склон, 𝑇 = 9 с.

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Найдите начальную скорость 𝑉₀ осколков.

2. Найдите модуль S перемещения за время полёта осколка, упавшего на склон через 𝑇 = 9 с после старта.

3. На каком максимальном расстоянии S_MAX от точки старта один из осколков упадет на склон?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 10 класс. В6.)

Плоская поверхность склона образует с горизонтом угол 𝛼 такой, что sin 𝛼 = 0,8 (см. рис.). У вершины склона разрывается фейерверк. Осколки летят во всевозможных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Наибольшее удаление от поверхности склона осколка, упавшего на склон, 𝐻 = 48 м.

Ускорение свободного падения g =10 м/c². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

1. Найдите начальную скорость 𝑉₀ осколков.

2. Найдите модуль S перемещения за время полета упавшего на склон осколка, наибольшее удаление которого от поверхности склона за время полёта 𝐻 = 48 м.

3. На каком максимальном расстоянии S_MAX от точки старта один из осколков упадет на склон?