Сборник олимпиадных задач на тему: "Закон сложения скоростей"

Закон сложения скоростей.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В1.)

Пловец переплывает через реку шириной d 100 м за наименьшее время  100 с. За это время течение сносит его на S  200 м. Снос — это расстояние, на которое сместится пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.

1) Найдите скорость V течения реки.

2) Найдите скорость u пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой.

3) Найдите продолжительность T заплыва, в котором снос будет минимальным.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В2.)

Моторная лодка пересекает реку шириной d 150 м за наименьшее время   60 с. За это время течение сносит лодку на S  90 м. Снос — это расстояние, на которое сместится лодка вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, лодка движется с постоянной скоростью.

1) Найдите скорость V течения реки.

2) Найдите скорость u лодки в подвижной системе отсчета, связанной с водой.

3) За какое время T лодка пересечет реку, двигаясь по кратчайшему ( относительно берега) пути?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В3.)

Пловец переплывает через реку шириной d 100 м за время   220 с. За это время течение сносит его на S  200 м. Скорость течения реки V  0,5 м/с. Снос — это расстояние, на которое перемещается пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.

1) Найдите скорость u пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой.

2) За какое наименьшее время T пловец может пересечь реку?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2019 год. 9 класс. В4.)

Лодочник пересекает реку шириной d  200 м за время   200 с. За это время течение сносит лодку на S=3^1/2d В подвижной системе отсчета, связанной с водой, лодка движется со скоростью u  1, 3 м/с. Снос — это расстояние, на которое сместится лодка вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, лодка движется с постоянной скоростью.

1) Найдите скорость V течения реки.

2) За какое время T лодка пересечет реку, двигаясь по кратчайшему (относительно берега) пути?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В1.)

К орабль А и торпеда B в некоторый момент времени находятся на расстоянии l 1 км друг от друга (см. рис. 1) Скорость корабля V₁ 10 м/с, угол   60 . Скорость торпеды V₂  20 м/с. Угол  таков, что торпеда попадет в цель.

1) Найдите sin .

2) Через какое время T расстояние между кораблем и торпедой составит S  770 м?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В2.)

К орабль А и торпеда B в некоторый момент времени находятся на расстоянии l  0,8 км друг от друга (см. рис.) Скорость корабля V₁  8 м/с, угол   60⁰ , угол   30⁰ Скорость V₂ торпеды такова, что торпеда попадет в цель.

1) Найдите скорость V₂ торпеды.

2) На каком расстоянии S будут находиться корабль и торпеда через T  25 с?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В3.)

Однородное колесо радиуса R  0,5 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности и за время T 1,57 с совершает один оборот. Точки А и В лежат на ободе колеса, АВ –диаметр колеса.

1) С какой скоростью V₀ движется ось колеса?

2) С какой скоростью V_А движется точка А на ободе колеса, если точка В движется со скоростью 2 V_В  м/с?

Все скорости измерены в лабораторной системе отсчета. Ось колеса движется равномерно.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2020 год. 9 класс. В4.)

Велосипедное колесо радиуса R  0,5 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Каждая спица за время   0, 2 с поворачивается на угол   30⁰. Скорость точки А на ободе колеса V_А  1, 2 V₀. АВ – диаметр колеса.

1) Найдите скорость V₀ оси колеса.

2) С какой по величине скоростью VВ движется точка В на ободе колеса?

Все скорости измерены в лабораторной системе отсчета. Ось колеса движется равномерно.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В1.)

Пловец трижды переплывает реку. Движение пловца прямолинейное. Скорость пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой, во всех заплывах одинакова по модулю. В двух первых заплывах A – точка старта, B – точка финиша (см. рис., V - неизвестная скорость течения реки). Ширина реки АС = 𝑑 = 70 м, снос, т.е. расстояние, на которое пловец смещается вдоль реки к моменту достижения противоположного берега, 𝐶𝐵=𝐿=240 м. Продолжительность первого заплыва 𝑇₁ = 192 с, продолжительность второго заплыва 𝑇₂ = 417 с.

1) Найдите скорости 𝑉₁ и 𝑉₂ пловца в лабораторной системе отчета в первом и втором заплывах.

2) Найдите скорость 𝑈 пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой. В третьем заплыве пловец стартует из точки А и движется так, что снос минимальный.

3) Найдите продолжительность 𝑇 третьего заплыва.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В2.)

Пловец трижды переплывает реку. Движение пловца прямолинейное. Скорость пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой, во всех заплывах одинакова по модулю. В двух первых заплывах А – точка старта, В – точка финиша (см. рис., V - неизвестная скорость течения реки). Ширина реки АС = 𝑑 = 50 м, снос, т.е. расстояние, на которое пловец смещается вдоль реки к моменту достижения противоположного берега, 𝐶𝐵 = 𝐿 = 120 м. Продолжительность первого заплыва T₁ 100 с, продолжительность второго заплыва 𝑇₂ = 240 с.

1) Найдите скорости 𝑉₁ и 𝑉₂ пловца в лабораторной системе отсчета в первом и втором заплывах.

2) Найдите скорость 𝑉 течения реки. В третьем заплыве пловец стартует из точки А и движется так, что снос наименьший.

3) На каком расстоянии S от точки В выше по течению финиширует пловец в третьем заплыве?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В3.)

На реке отведена зона для безопасного плавания. Граница зоны ‒ половина окружности радиуса R = 100 м, центр в точке О (см. рис.). В ходе заплывов по реке пловец каждый раз стартует в точке О, плывет по прямой до границы зоны, а затем по той же прямой возвращается в точку старта. В системе отсчета, связанной с водой, скорость 𝑈⃗ пловца одинакова по модулю U=1,5 м/с при движении в любом направлении. В первом заплыве пловец проплывает 100 м вниз по течению (𝑈⃗ ↑↑ 𝑉⃗) и возвращается (−𝑈⃗↑↓ 𝑉⃗) в точку старта. Время движения на второй половине дистанции в 5 раз больше, чем на первой.

1) Найдите скорость V течения реки.

2) Найдите продолжительность 𝑇 заплыва, в котором вектор 𝑉⃗ скорости реки образует угол 𝛼 = 45⁰ с прямой, по которой движется пловец (см. рис.),

3) За какое наименьшее время 𝑇_𝑀𝐼𝑁 пловец после старта в точке О может доплыть до границы зоны и вернуться в точку старта?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2023 год. 9 класс. В4.)

На реке отведена зона для безопасного плавания. Граница зоны ‒ половина окружности радиуса R = 60 м, центр в точке О (см. рис.). Скорость течения реки V=0,8 м/с. В ходе заплывов по реке пловец каждый раз стартует в точке О, плывет по прямой до границы зоны, а затем по той же прямой возвращается в точку старта. В системе отсчета, связанной с водой, скорость 𝑈⃗ пловца одинакова по модулю при движении в любом направлении. В первом заплыве пловец проплывает 60 м против течения (𝑈⃗ ↑↓ 𝑉⃗) и возвращается (−𝑈⃗ ↑↑ 𝑉⃗) в точку старта. Время движения на первой половине дистанции в 9 раз больше, чем на второй.

1) Найдите скорость U пловца в системе отсчета, связанной с водой.

2) Найдите продолжительность 𝑇 заплыва, в котором вектор скорости реки образует угол 𝛼 = 120⁰ с прямой, по которой движется пловец (см. рис.).

3) За какое наибольшее время 𝑇_𝑀АХ пловец после старта в точке О может доплыть до границы зоны и вернуться в точку старта?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В1.)

Беспилотные летательные аппараты применяют для доставки полезных грузов. Продолжительность полета аппарата по маршруту А → Б в безветренную погоду составляет T₀=400 с. Расстояние АБ равно S=9,6 км.

1.Найдите скорость U аппарата в спокойном воздухе. Допустим, что в течение всего времени полета ветер дует с постоянной скоростью 𝑉 = 16 м/с под углом 𝛼 к прямой АБ (см. рис.) таким, что sin 𝛼 = 0,6.

2. Найдите продолжительность T1 полета по маршруту А → Б в этом случае. Скорость аппарата относительно воздуха постоянна и равна U.

3. При каком значении угла 𝛼 продолжительность полета по маршруту А → Б → А максимальная? Движение аппарата прямолинейное.

4. Найдите максимальную продолжительность 𝑇_𝑀𝐴𝑋 полета по маршруту А → Б → А. Движение аппарата прямолинейное.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В2.)

Беспилотные летательные аппараты применяют для доставки полезных грузов. Аппарат всегда летит по прямой. Продолжительность полета аппарата по маршруту А → Б → А в безветренную погоду составляет T₀=200 с. Расстояние АБ равно S=2 км.

1.Найдите скорость U аппарата в спокойном воздухе. Допустим, что в течение всего времени полета ветер дует с постоянной скоростью 𝑉 = 15 м/с под углом 𝛼 к прямой АБ (см. рис.), sin𝛼 = 0,8.

2. Найдите продолжительность T₁ полета по маршруту А → Б в этом случае. Скорость аппарата относительно воздуха постоянна и равна U.

3. При каком значении угла 𝛼 продолжительность полета по маршруту А → Б → А минимальная?

4. Найдите минимальную продолжительность 𝑇_𝑀𝐼𝑁 полета по маршруту А → Б → А.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В3.)

Два мотоциклиста едут по двум взаимно перпендикулярным дорогам. Первый мотоциклист движется со скоростью 𝑉₁ = 15 м/с, второй мотоциклист движется с неизвестной скоростью 𝑉₂. В некоторый момент времени расстояние между мотоциклистами стало наименьшим и равным 𝑆 = 220 м. Через 𝑇 = 10 с расстояние между мотоциклистами удвоилось.

1. Найдите скорость 𝑉₂ второго мотоциклиста.

2. С какой скоростью 𝑉_𝑅 увеличивается в этот момент расстояние между мотоциклистами?

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В4.)

Два мотоциклиста едут по двум взаимно перпендикулярным дорогам. Один мотоциклист движется со скоростью 𝑉₁ = 20 м/с, другой мотоциклист движется с неизвестной скоростью 𝑉₂. В момент времени 𝑡 = 0 расстояние между мотоциклистами равно 𝑑₀ = 3 ⋅ 𝑆 = 450 м. Через 𝑇 = 15 с расстояние между мотоциклистами стало минимальным и равным 𝑆 = 150 м.

1. Найдите неизвестную скорость 𝑉2 другого мотоциклиста.

2. С какой скоростью 𝑉_𝑅 уменьшалось расстояние между мотоциклистами в момент времени 𝑡 = 0?

17. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В1.)

Во время выполнения пилотажного упражнения два самолёта летят в горизонтальной плоскости с одинаковыми по модулю скоростями 𝑉 = 80 м/с (см. рис.) по окружностям одинакового радиуса R=800 м. Ускорение свободного падения g =10 м/c².

1. На сколько 𝛿 процентов вес каждого летчика больше силы тяжести, действующей на летчика?

В некоторый момент времени самолеты оказались на прямой, проходящей через центры окружностей, в положении максимального сближения. Расстояние между центрами окружностей L=2 км. Вектор скорости каждого самолета показан на рисунке.

1. Найдите в этот момент скорость 𝑈 второго (правого на рис.) самолёта во вращающейся системе отсчёта 𝑥 ′O₁𝑦 ′, связанной с первым (левым на рис.) самолётом. В ответе укажите модуль и направление вектора 𝑈.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В2.)

Во время выполнения пилотажного упражнения два самолёта летят в горизонтальной плоскости с одинаковыми по модулю скоростями 𝑉 = 70 м/с (см. рис.) по окружностям одинакового радиуса. Радиус окружности, по которой движется каждый самолет, R=700 м. Ускорение свободного падения g =10 м/c².

1. Определите отношение 𝑃/𝑚𝑔, здесь P ‒ сила, с которой летчик действует на пилотское кресло, mg ‒ сила тяжести летчика.

В некоторый момент времени самолеты оказались на прямой, проходящей через центры окружностей, в положении максимального удаления. Расстояние между центрами окружностей L=2,1 км. Вектор скорости каждого самолета показан на рис.

1. Найдите в этот момент скорость 𝑈⃗ второго (правого на рис.) самолёта во вращающейся системе отсчёта 𝑥 ′𝑂₁𝑦 ′, связанной с первым (левым на рис.) самолётом. В ответе укажите модуль и направление вектора 𝑈.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В5.)

Два школьника опытным путем изучают механику: первый сидит на краю равномерно вращающейся с периодом 𝑇 = 6,3 с карусели, второй едет по прямой на велосипеде (см. рис.) и оба наблюдают друг за другом. В лабораторной системе отсчета 𝑥O𝑦 скорости школьников одинаковы по модулю и равны 𝑉 = 2 м/с. Все движения происходят в одной горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения g =10 м/c².

1. На сколько 𝛿 процентов вес первого школьника больше веса второго школьника? Указание: считайте, что (1 + 𝑥)^𝑛 ≈ 1 + 𝑛 ⋅ 𝑥 при 𝑥

В некоторый момент времени школьники оказались в положении максимального сближения (см. рис.) на расстоянии L=5 м. Вектор скорости 𝑉 каждого школьника в этот момент показан на рисунке к задаче.

2. Найдите в этот момент скорость 𝑈₁ первого школьника в подвижной системе отсчёта 𝑥 ′O₁𝑦 ′, связанной со вторым школьником. Система отсчета 𝑥 ′𝑂₁𝑦 ′ движется поступательно относительно лабораторной системы 𝑥O𝑦.

3. Найдите в этот момент скорость 𝑈₂ второго школьника во вращающейся системе отсчёта 𝑥′′О₂𝑦′′, связанной с первым школьником. Точка O₂ ‒ начало вращающейся системы отсчета. В ответе укажите модуль и направление вектора 𝑈₂.

1. (МФТИ. Заключительный этап 2024 год. 9 класс. В6.)

Два школьника опытным путем изучают механику: первый сидит на краю равномерно вращающейся с круговой частотой 𝜔 = 1 с^-1 карусели, второй едет по прямой на велосипеде (см. рис.) и оба наблюдают друг за другом. В лабораторной системе отсчета скорости школьников одинаковы по модулю и равны 𝑉 = 3 м/с. Все движения происходят в одной горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения g =10 м/c².

1. На сколько 𝛿 процентов вес второго школьника меньше веса первого школьника? Указание: считайте, что (1 + 𝑥)^𝑛 ≈ 1 + 𝑛 ⋅ 𝑥 при 𝑥

В некоторый момент времени школьники оказались на прямой, проходящей через центр карусели, (см. рис.), в этот момент второй школьник находится на расстоянии L=9 м от края карусели. Вектор скорости 𝑉 каждого школьника в этот момент показан на рисунке к задаче.

2. Найдите в этот момент скорость 𝑈₁ первого школьника в подвижной системе отсчёта 𝑥′O₁𝑦′, связанной со вторым школьником. Система отсчета 𝑥′O₁𝑦′ движется поступательно относительно лабораторной системы 𝑥O𝑦.

3. Найдите в этот момент скорость 𝑈₂ второго школьника во вращающейся системе отсчёта 𝑥′′О₂𝑦′′, связанной с первым школьником. Точка O₂ ‒ начало вращающейся системы отсчета. В ответе укажите модуль и направление вектора 𝑈₂.