Самые интересные факты о математике

Числа Фибоначчи

     Итальянский купец Леонардо из Пизы

(1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
          Жизнь и научная карьера Леонарда теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
         В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих 2, император (с 1220 года) "Священной Римской империи Германской Нации". Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Поэтому к преподаванию в основанном им Неаполитанском университете, наряду с христианскими учеными, он привлек арабов и евреев.
          Столь любимые его дедом рыцарские турниры, на которых сражающиеся калечили друг друга на потеху публике, Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал  гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
          На таких турнирах и заблистал талант Леонарда Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.
          Впоследствии Фибоначчи пользовался неизменным покровительством Фридриха II.
          Это покровительство стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:
обширнейшей "Книге абака", написанной в 1202 году, но дошедшей до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.; "Практики геометрии"( 1220г.); "Книги квадратов"(1225г.). По этим книгам,превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта ( 17 в.).    

 

Статуя Леонардо Фибоначчи, Пиза, Италия

Наибольший интерес представляет сочинение "Книга абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597,

2 584и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом _{ }. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Основной целью данного реферата является изучение основных свойств чисел Фибоначчи.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ В СТИХАХ

Леонардо Фибоначчи

(это значит сын Боначчо)

часто ездил на Восток.

Познавал, что только мог.

Был монах, но не догматик,

и – известный математик.

Ввёл в Европе, как халиф,

алфавит арабских цифр!

Ряд возник у Фибоначчи

при решении задачи

о потомстве королей

(ой, простите, – у кролей.)

Превосходные триады:

каждый член такого ряда

равен (обострите слух)

сумме предыдущих двух:

Nk = (Nk-1 + Nk-2

И ещё отметить надо:

два числа, стоящих рядом,

отличаются как раз

в _{ } (знак Фибоначчи) раз.

Кстати, это отношенье

служит «золотым сеченьем».

Сам да Винчи так считал.

А уж он-то дело знал.

Ряд, наверно, мог остаться

без вниманья, затеряться.

Но счастливою судьбой

превратился в «золотой»!

Это выяснилось в ходе

подтвержденья, что в природе,

как две капельки воды,

есть похожие ряды.

И они присущи вроде

только лишь живой природе:

для растительных частей,

для животных и людей.

Рассмотрите для примеров

отношения размеров

нескольких участков тел.

Кто бы так, как бог, сумел?

Но сеченье золотое

проявляется порою

в очень разных областях

и в несхожих отраслях:

в живописи и в скульптуре,

в химии, архитектуре.

Этому же ряду рад

музыкальный звукоряд.

Эти мысли возникают

там, где люди ощущают

инстинктивно, за версту

гармоничность, красоту,

правильность и безотказность.

В общем – целесообразность.

Лепоту, как говорят.

Вот что значит этот ряд!

Кеплер, создав теоремы

нашей Солнечной системы,

чуть ли не сошёл с ума:

аналогия пряма!

Всё в них, так или иначе,

– это числа Фибоначчи!

Он привёл их как пример

музыки небесных сфер!

А большие пирамиды?

Это ж не метеориты.

Они созданы во мгле

древних лет. Но на Земле.

Пирамиды – просто чудо.

Но кто скажет нам, откуда

среди жреческой среды

фибоначчевы ряды?

И к идеям залихватским.

Академиком Вернадским

была высказана мысль

(посмотрите быстро ввысь),

что на Землю из Вселенной

жизнь проникла обалденно:

не в частицах, а скорей

с помощью биополей!

Действуют поля мгновенно,

и при этом непременно

возникает всюду жизнь

(посмотрите быстро вниз).

И ещё, его же мненье:

фибоначчево решенье

лишь одно даёт ответ,

вещь живая или нет.

Хоть решение прекрасно,

многое ещё не ясно.

Ну, друзья, кто помудрей,

– вылезай из букварей.

Посвяти досуг задаче

Леонардо Фибоначчи.

И тогда, пойми, поймёшь,

что не попусту живёшь!

ИСТОРИЯ И СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Леонард Фибоначчи – один из величайших математиков Средневековья. В одном и своих трудов “Книга вычислений” Фибоначчи описал индо-арабскую систему исчисления и преимущества ее использования перед римской.

Числовая последовательность Фибоначчи имеет много интересных свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Одно из самых главных следствий этих свойств различных членов последовательности определяются следующим образом:

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют (ФИ), и мы поговорим о нем подробнее немного позже.

2. При делении каждого числа на следующее за ним через одно получаем число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. упомянем также 0.5 (1/2). Все они играют особую роль в природе, и в частности – в техническом анализе.

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ В АРХИТЕКТУРЕ

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить при помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Приводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

Пирамиды в Гизе

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты

Площадь треугольника

_{ }

Площадь квадрата

280 * 280 = 78400

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды - 484.4 фута (147.6 м). Длина гpани, деленная на высоту, приводит к соотношению _{ } =1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции _{ } =1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Пирамиды в Мексике

Е египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего пpоисхождения. Пpимеp важной pоли скpытой пpопоpции

_{ } =1.618. Hа попеpечном сечении пиpамиды видна форма, подобная лестнице. В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем - 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом:

16 x 1.618 = 26

16 + 26 = 42

26 x 1.618 = 42

42 + 26 = 68

Число _{ } = 1.618 заложено в пpопоpциях мексиканской пирамиды.

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Сумма цифр по линиям равна числам Фибоначчи.

СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ

В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. "упакованы" по двойным спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа "правых" и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Многочисленные примеры двойных спиралей, встречающихся повсюду в природе, всегда соответствуют этому правилу.

Е ще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".

В любой хорошей книге в качестве примера показывают раковину наутилуса. Причем во многих изданиях сказано, что это спираль золотого сечения, но это неверно – это спираль Фибоначчи. Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних ее изгиба фактически равны. Второй и третий изгибы чуть ближе приближаются к фи. Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Вспомните отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее. Будет понятно, что моллюск точно следует математике ряда Фибоначчи.

ФИБОНАЧЧИ В СТРОЕНИИ М ОЛЕКУЛЫ ДНК

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. М олекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу чисел Фибоначчи.

ЧЕЛОВЕК И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Ч исла Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара - три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков - антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55. Пропорция "фи" проявляется и в человеческом теле.

Друнвало Мелхиседек в книге "Древняя тайна Цветка Жизни" пишет: "Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точно в пропорции фи, как и вертикальную линию от головы до ступней. Если считать, что пупок находится в той совершенной точке, а не слегка выше для женщин или чуть ниже для мужчин, то это означает, что тело человека поделено в пропорции фи от макушки до ступней… Если бы эти линии были единственными, где в человеческом теле имеется пропорция фи, это, вероятно, было бы только интересным фактом. На самом деле пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение. Вот некоторые явственные места в теле человека, где обнаруживается пропорция фи. Длина каждой фаланги пальца находится в пропорции фи к следующей фаланге… Та же пропорция отмечается для всех пальцев рук и ног. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, так же длина плеча относится к длине предплечья. Или отнесите длину голени к длине стопы и длину бедра к длине голени. Пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим. Изучая это, все время удивляешься".

БОЖЕСТВЕННАЯ ПРОПОРЦИЯ В ПРИРОДЕ.

Растения

Дpугое пpоявление чисел Фибоначчи наблюдается в числе пазух на стебле pастения во вpемя его pоста. Идеальный случай можно увидеть в стеблях и цветах sneezewort'а. Каждая новая ветка пpоpастает из пазухи и дает начало дpугим веткам. Если pассмотpеть вместе стаpые и новые ветки, в каждой гоpизонтальной плоскости обнаpуживается число Фибоначчи.

Ирис 3 лепестка

Примула 5 лепестков

Амброзия полыннолистная 13 лепестков

Нивяник обыкновенный 34 лепестка

Астра 55 и 89 лепестков

Асинхронное деление клеток

П ри асинхронном делении каждая клетка делится на две клетки, одна из которых пропускает следующий такт деления. Для краткости, такой формообразующий процесс будем называть F-делением. Рассмотрим количественные характеристики F-деления. После определенного количества синхронных делений происходят исключительно F-деления. Так после первого такта F-деления образуются две клетки А и В, из которых только В будет делиться во втором такте. После двух тактов F-деления образуются три клетки, из которых только две будут делиться в третьем такте. После третьего такта суммарное количество клеток станет равным пяти, из которых три будут делиться в четвертом такте F-деления и т.д. Следовательно, в процессе F-деления из одной клетки будет образовываться 2,3,5,8,13,21,.. клеток.

Пусть на определенном этапе развития зародыша, после периода синхронных делений, выделится одна клетка из которой будет развиваться рука. После первого F-деления образуются две клетки А и В Клетка А пропустит следующий такт деления, следовательно, ее потомков будет в ? раз меньше клеток потомков В. Действительно, как видно из рисунка отношение длины кисти и локтя к предплечью есть золотое сечение. Принимая длину, пропорциональной количеству клеток, получаем, что из клетки А будет развиваться предплечье, а из В кисть и локоть. Аналогично после деления В, из образовавшихся дочерних клеток, будут развиваться локоть и кисть, и т.д. до фаланг пальцев на руке.

ЗАДАЧА ПРО КРОЛИКОВ

На стр. 123- 124 книги абака, Фибоначчи поместил следующую задачу:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Я сно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары( ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:

Fn=Fn-1+Fn-2

при всех n2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Данная последовательность асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной,непpедсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выpазить точно.

ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Главными и самыми трудными для решения считаются в археологии две задачи: происхождение и датирование вещей. Датирование и следующая за ней задача хронологического изучения древностей, может быть, и самые ответственные. Обе задачи решают последовательно: сначала устанавливают относительную хронологию. Такую хронологию устанавливают собственно археологическими методами, дополняя и проверяя такие даты методами палеонтологии, палинологии, геологической стратиграфии и т.д. Для абсолютного датирования используют физические, физико-химические, биологические и другие методы, отдавая предпочтение дендрохронологии и радиоуглеродному методу датирования. Дендрохронологическим датам придано значение календарных, для остальных, полученных иными методами, кроме вероятной календарной даты, указывают статистическую ошибку, присущую самому методу.

Жесткая хронология древностей (за редким исключением) и жесткие хронологические границы между эпохами, культурами, культурно-историческими общностями и т.д. в археологии не приняты. Периодизация и синхронизация эпох, культур и памятников надежна, а их хронология скорее условна и согласительна. Кроме того, существует насколько систем хронологии, поскольку согласованные даты признают и следуют им далеко не все.

История древних материалов и древних технологий во многом зависит от надежности и точности датировок. Предпочтение любой системы датирования, несмотря на самые серьезные обоснования ее выбора, станет объектом критики. В итоге: место определенности в датах займут разрушающие целое многозначность и фрагментарность частных хронологий, сопровождаемые бесконечными дискуссиями. Принятое регионально-хронологическое разделение объекта науки археологии лишает актуальности всякие поиски общего основания для хронологии древностей или общего знаменателя в ее построении. Выход из такого состояния до сих пор не найден.

Подход и планируемый масштаб в изучение истории древних материалов и древних технологий потребовал не только уточнения хронологии археологических эпох, культур и древностей. Сравнительно-историческое изучение и материалов и технологий требует единой хронологии и древностей, и археологических культур и эпох. Общие хронологии существуют издавна и в немалом числе, есть хронологии, представленные от одного лица или от авторского коллектива. Главная черта таких хронологий – они , имея огромную эмпирическую базу, представляют собою механическое объединение разных хронологий в некое целое. Как хорошо известно: целое не есть сумма частного. Целое – это особое явление, которое включает в себя частности, но оно не тождественное их сумме. Для выстраивания целого необходимы особые основания, своего рода общий знаменатель, который объединил бы в единое целое все частности, всю эмпирику в хронологии древнейших эпох.

В качестве инструмента решения возникшей задачи впервые была избрана гармоническая система числовых отношений, так называемый ряд Фибоначчи.

Приметы такого ряда очевидны в хронологии эпох I тыс. н.э. – I тыс. до н.э. Числа ряда удачно фиксируют поздний железный век (I тыс. н.э.), ранний железный век и его начало (I тыс. до н.э.). В интервале 5-2 тыс. до н.э. сосредоточены культуры энеолита, поздней и ранней бронзы Европы, к интервалу 8-5 тыс. до н.э. относят европейский мезолит и неолитические культуры Ближнего Востока. Мезолит же Ближнего Востока датируют иначе: 10-7 тыс. до н.э., а мезолит Восточной Европы – 11-5 тыс. до н.э.

Очевидно, что расхождения в хронологии культур 10-5 тыс. до н.э. региональны. Эти расхождения зависят от неравномерности исторического развития, которая проявилась в это время и сохраняет свое значение на протяжении всего времени в дальнейшем вплоть до настоящего времени.

Эти расхождения в хронологии археологических эпох, имея региональный масштаб, никак не затрагивают самой гармонической последовательности, присущей ряду Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8. Сначала казалось удивительным, что некоторые элементы этой последовательности, действительно, соответствуют хронологическим рубежам в древнейшей истории, особенно когда к числам добавлены наименования: "тыс. лет до н.э.", или "тыс. лет тому назад", или просто "тыс. лет". Кроме уже отмеченных совпадений в хронологии археологических эпох I тыс. до н.э. – I тыс. н.э., были найдены и другие.

Очевидно, что в хронологии археологических культур более раннего времени, развитию которых присущ планетарный характер, следует ожидать более строгого соответствия ряду Фибоначчи. Продолжим ряд, полагая, что указываемая далее последовательность чисел с дополнением наименования тыс. лет.: 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4 181 и т.д. – фиксирует хронологические рубежи древнейшей и древней истории человечества.

Так, позицию 233 тыс. лет в приводимой последовательности можно отождествить с датой рисского оледенения в Европе, общепризнанная геологическая дата которого 230 тыс. лет т. н. Позиция, соответствующая 377 тыс. лет, близка дате в 400 тыс. лет т. н. К этому времени относят выход человечества из биоценоза. Около середины II миллионолетия (1 597 тыс. л. из ряда) складывается древнейшая археологическая культура олдувай, в середине III миллионолетия (2 584 тыс. лет) появляются австралопитековые формы ископаемого человека, с которыми связывают так называемое начало орудийности. Кроме того, считается, что на протяжении 720 – 600 тыс. лет складывается трудовая традиция и формируется речь. Дата завершения этих процессов находится почти рядом с позицией ряда в 610 тыс. лет.

Действительно, эти рубежи разграничивают развитие человечества на отдельные этапы, которые иногда называют временными ступенями. Переход с одной временной ступени на другую справедливо считают эволюцией системы. Повторим ряд, обозначив курсивом те ступени, хронология которых проверена и может быть принята для дальнейших действий и рассуждений: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584. Одиннадцать из 18 позиций ряда совпадают или очень близки общепринятым представлениям о хронологии ранних этапов истории человечества, можно считать, проверенными и подтвержденными с достаточной степенью надежности и точности. Иногда говорят, что одно подтверждение – случайность, два – совпадение, три – тенденция. В нашем случае не три, а 60% проверенных совпадений подтверждены. Такое число подтверждений, очевидно, выражает не только тенденцию. Оно является выражением закономерности.

Ряд Фибоначчи на всем своем протяжении фиксирует временные границы эпох: каменный век, энеолит и бронза, железный век. С его помощью легко устанавливаются все границы этапов развития внутри каменного века, кроме мезолита . Периодизацию культур последних пяти тыс. до н.э. ряд Фибоначчи фиксирует на уровне тех временных ступеней, когда изменяется коэффициент ускорения (ранний, средний и поздний бронзовый век; ранний и поздний железный века).

Ряд Фибоначчи объемлет события планетарного значения. Хронологические ступени событий, которые не входят в ряд, имеют, следовательно, иной характер. Их периодизация, как и хронология, имеет не планетарный, а только региональный масштаб и характер. Утверждение о планетарном характере событий, которые объемлет ряд – второе следствие из его к хронологии и периодизации археологических эпох .

Третье следствие этой процедуры заключается в следующем. В развитии каждой эпохи (и каждой культуры) обязательна триада: становление, основное развития и умирание. Ряд делает очевидностью уменьшение каждой следующей временной ступени по сравнению с предыдущей в 1.6 раза, т.е. на коэффициент ускорения. Продолжительность временных ступеней выражает соотношение 5 : 3 : 2. Оно составлено из чисел все того же ряда Фибоначчи. Из этого соотношения следует, что время становления эпох (и культур) примерно равно сумме времени основного ее развития и ее умирания. И, следовательно, самое развитие несимметрично.

Пик в развитии, которое описывает симметричное (нормальное) распределение приходится на середину (медиану) средней ступени развития. Пик и в случае асимметричного развития должен приходиться на медиану основного (среднего) этапа и по этой причине смещен по времени в направлении ближе к нашему (времени). Величина смещения (в общем случае) должна быть равна половине протяженности среднего этапа. Поясню примером. Средний этап мустье продолжался 34 тыс. лет (89 – 55 тыс. лет). Чтобы найти его середину достаточно 34 : 2 и получить 17. Пик в развитии мустье, согласно расчету должен прийтись на 72 тыс. лет (89 – 17 = 72; 55 + 17 = 72). Восходящая ветвь эволюции мустье растянута на 72 тыс. лет, (144 – 72 = 72), а нисходящая 38 тыс. лет (72 – 34 = 38). По такому правилу можно будет рассчитывать, т.е. расчетно прогнозировать периодизацию археологических культур, существовавших в период равномерно ускоренного исторического процесса, когда f = 1.6, т.е. вплоть до III тыс. до н.э.

Итак, хронология и периодизация, можно сказать, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. Повторим их: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584. Не подтверждена в настоящее время позиция 987, будем надеяться... События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный, а не планетарный характер.

АСТРОНОМИЯ

Х отелось бы привести лишь один пример из истории науки, который замечательно иллюстрирует действенность и прогностическую ценность ряда Фибоначчи.

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако нашелся случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию так называемого пояса астероидов. Правда произошло это после его смерти, в первой четверти XIX в. С помощью ряда Фибоначчи представляют архитектонику и живых существ и рукотворных сооружений, архитектонику и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости ряда от условий его проявления и признаки его универсальности.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС

С числами Фибоначчи косвенно связан занятный гео­метрический парадокс.

С овершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, приклады­вая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней; ни одной квад­ратной единицы не может ни прибавиться, ни убавиться. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных основных положений, на которых строится вся теория измерения площадей.

Квадрат разрезан на два равных треугольника и на две равные трапеции, длины сторон которых пока обозна­чены буквами x и y. Из этих частей составлен прямо­угольник. Если такое превращение квадрата в прямо­угольник действительно возможно, то на какие же части х и у надо при этом делить сторону квадрата?

Сначала я подумал, что это без­различно, и положил х=6, у = 2. Разметил квадрат, разрезал его на два равных треугольника и две равные трапеции, начал составлять прямоугольник, и ... ничего не вышло! Сплошного прямо­угольника не получилось. Только при х = 5, у = 3 я смог составить прямо­угольник из образовавшихся частей квадрата, но тут же был ошеломлен новой неприятностью: площадь прямо­угольника оказалась равной 65 клеткам, то-есть на одну клетку большей, чем площадь перво­начально взятого квадрата.

В самом деле, длина прямоугольника должна содержать х+х+у = 2х+у = 2*5+3=13еди­ниц; у меня и получилось ровно 13 единиц; ширина пря­моугольника х и у меня получилась ширина прямоуголь­ника 5 единиц Отсюда его площадь содержит ровно 13*5 = 65 клеток!

Но это еще не все. По той же выкройке я делил на части и другой квадрат со стороной в 13 еди­ниц. Если я брал х=8 и у = 5, то из частей квадрата складывался прямоугольник, но в этот раз с площадью, меньшей площади квадрата, причем тоже ровно на 1 клетку.

Судите сами: площадь квадрата содержит 13² = 169 кле­ток, а площадь прямоугольника содержит (2х+у)х =(2*8 + 5)*8=168 клеток!

Еще два примера.

1) Беру квадрат в 21X21=441 клетку. Делю сто­рону на части х=13, у =8. Разрезаю. Складываю. Пря­моугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х = (2*13 + 8)*13=442 клетки!

Опять лишняя клетка.

2) Беру квадрат в 34 X 34 = 1156 клеток. Делю сто­рону на части х = 21, у=13. Разрезаю. Складываю. Прямоугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х = (2*21 + 13)*21 = 1155 клеток.

Нехватает одной клетки!

Что за причина?! Почему так получается?

Огромную роль в нем играют числа Фибоначчи.

Вопреки всем утверждениям, ни разу не получается сплошного прямо­угольника из частей квадрата; обязательно должны были получаться щели, может быть, незаметные для глаза, или незамет­ное наложение одной части на другую.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ

- Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (напpимеp, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875...

- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

18