Самостоятельные работы по теме: "Производная функции"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

ТЕМА «Производная функции»

»

Цель: закрепить правила вычисления производных, отработать навыки и умения вычислять производные, развивать умение логически мыслить, формировать умение самоконтроля.

Для выполнения самостоятельной работы обучающийся должен знать определение производной, таблицу производных, правила дифференцирования, правило вычисления производной сложной функции.

Производная и первообразная функции, ее геометрический и физический смысл.

Пусть на некотором промежутке определена некоторая функция

Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования:

1. Придавая аргументу приращение и подставляя в выражение функции вместо аргумента наращенное значение + , находим наращенное значение функции:

1. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции:

1. Делим приращение функции на приращение аргумента , т.е. составляем отношение:

.

1. Находим предел этого отношения при :

.

Этот предел и есть производная от функции . Итак:

Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции (рис.10).

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) Производная суммы (разности): (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) Производная произведения: (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Производная частного: , если v ¹ 0

4) Производная сложной функции:

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

4. , где u, v, w – некоторые функции от х.

Таблица производных и первообразных некоторых основных элементарных функций.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0X, прямыми и и графиком неотрицательной функции на отрезке находится по формуле:

.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1.Для функции y = x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,6.

2^.Найдите производную функции: а) f(x) = x³+x²+2x; б) g(x) =

в) g(x) = 4sinx- и вычислите g′

г) h(x) = и вычислите h′ (-1).

3.Решите уравнение если f(x) =

4.Необязательное задание. Имеет ли производную функция f(x) = -0,5x|x| в точке x=0?

Вариант 2

1.Для функции y = 0,5x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,8.

2. Найдите производную функции: а) f(x) = - x³+2x²-x; б) g(x) = +x;

в)g(x) = 3cosx и вычислите g′

г)h(x) = и вычислите h′ (1).

3.Решите уравнение если f(x) = - 18x, g(x) =2 .

4.Необязательное задание. Имеет ли производную функция f(x) ⁼2x|x| в точке x=0?

Вариант 3

1.Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции y = x , проходящей через точки графика с абсциссами x₀=0,5, х₀+∆х=2.

2.Найдите производную функции: а) f(x) = б) g(x) =

в) g(x) = 2tg x и вычислите g′ ; г) h(x) = и вычислите h′ ( - 2).

3.Решите уравнение f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x^{3 –} 6x² , g(x)= .

4.Необязательное задание. Дана функция f(x) = x +1, где x≥0. Найдите функцию g(x) такую, чтобы выполнялось условие f(g(x)) = x.

Вариант 4

1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции y = 0,5x , проходящей через точки графика с абсциссами x₀=0,6 и x₀+∆x=2.

2. Найдите производную функции:

а)f(x)=-

б) g(x) =

в) g(x) = 4ctgx — и вычислите g′=

г) h(x) = (3x+4)/(x-3) — и вычислите h′ (4).

3.Решите уравнение f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x³-3x², g(x) =

4.Необязательное задание. Дана функция f(x) = x² - 2,где x≥0.Найдите функцию g(x) такую, чтобы выполнялось условие g(f(x)) = x.

Тест по теме «Производная»

Вариант 1

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 4 3) 0; −4 4) 0; 4

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 0 2) 1 3) −1 4) не существует

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2)

3) 4)

А 8. Используя формулу производной частного, найдите производную функции

1) 2) 5 3) 4)

А 9. Найдите производную функции

1) 0 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В.

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Вариант 2

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную.

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 2 3) 0; 2 4) 0; −2

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 2) 3) 4) 4

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2) 3) 4)

А 8. Найдите производную дробно- рациональной функции

1) 2) 3) 4)

А 9. . Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В.

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Вариант 3

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную.

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 0; 3 3) 3 4) 0; −3

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 1 2) 3) 4) 2

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2) 3) 4)

А 8. Найдите производную дробно- рациональной функции

1) 2) 3) 4)

А 9. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Рекомендации по оценке результатов тестирования:

Ключи к тесту по теме «Производная»

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

МАОУ «СОШ № 57 г. Улан-Удэ имени А. Цыденжапова» Страница 11