Самостоятельные работы по теме "Исследование функции и построение её графика"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

ТЕМА «Исследование функции и построение ее графика»

Цель:отработать навыки в применении производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы, развивать умение логически мыслить, формировать умение самоконтроля.

Для выполнения самостоятельной работы обучающийся должен знать схему исследования функции, экстремумы функции, промежутки монотонности и промежутки выпуклости, асимптоты графика функции.

1. Находим область определения функции f(x)

2. Находим точки пересечения кривой y=f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.

3. Определяем, симметрична ли кривая y=f(x) относительно осей координат и начала координат.

4. Исследуем функцию y=f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x₀ разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.

7. Исследуем кривую y=f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

8. Вычерчиваем кривую y=f(x).

Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек x₁ и x₂ таких, что   , выполняется неравенство .

Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек x₁ и x₂ таких, что , выполняется неравенство .

Если для любой точки   выполняется неравенство , то функция возрастает в интервале .

Если для любой точки выполняется неравенство     , то функция убывает в интервале   .

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Асимптоты функции

Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от некоторой точки кривой M(x,y) до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки  M к бесконечности).

Асимптоты делятся на вертикальные и наклонные.

Прямая называется вертикальной асимптотой кривой , если   и (или) .

Прямая   называется наклонной асимптотой кривой , если существуют конечные пределы: ; . Если окажется, что k = 0, то асимптота называется горизонтальной.

Экстремумы функции

Значение функции называется максимумом функции , если для любой точки x из некоторой достаточно малой окрестности точки x_o выполняется неравенство . Точка x_o называется в этом случае точкой максимума функции .

Значение функции называется минимумом функции , если для любой точки x из некоторой достаточно малой окрестности точки x_o выполняется неравенство . Точка x_o называется в этом случае точкой минимума функции .

Максимум или минимум функции называются экстремумами функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой экстремума функции.

Необходимое условие существования экстремума: если дифференцируемая функция   достигает экстремума в точке x_o, то ее производная первого порядка в этой точке равна нулю, т.е. .

Точки, в которых производная или не существует, называются критическими точками.

Достаточное условие существования экстремума: если x_o - критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка x_o есть точка максимума, а значение функции - максимум функции; если при переходе через точку x_o производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x_o есть точка минимума, а значение - минимум функции; если при переходе через точку x_o производная знака не меняет, то экстремума в точке нет, а значение не является экстремумом функции.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Точка графика функции , отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если в интервале , то график функции на этом интервале вогнутый.

Если в интервале , то график функции на этом интервале выпуклый.

Если и при переходе через точку x_o вторая производная меняет знак, то точка графика является точкой перегиба, при исследовании функции следует учитывать точки, где вторая производная не существует.

Схема общего исследования функции

Полное исследование функции проводят по следующему плану:

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность, периодичность функции.

3. Нули функции (точки пересечения графика с осями координат)

4. Асимптоты.

5. Интервалы монотонности и экстремумы.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

7. Построение графика.

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

Решение.

1. область определения функции:

1. так как то функция нечетная.

1. Точки пересечения с осями координат:

При при

1. Асимптот нет

2. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

При функция возрастает.

При функция убывает.

При функция убывает.

При функция возрастает

Точка точка максимума.

Точка точка минимума.

1. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

При функция выпукла;

При функция вогнута;

При функция выпукла;

При функция вогнута.

Точки - точки перегибов.

Исследовать функцию и построить ее график

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

МАОУ «СОШ № 57 г. Улан-Удэ имени А. Цыденжапова» Страница 6