Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений по формуле

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ Мойганская СОШ

Сутырина Татьяна Александровна

Какое уравнение называется квадратным?

Уравнение вида

где a, b, c – некоторые числа, причем

называется полным квадратным уравнением .

Как называются числа a, b, c?

Какие еще бывают виды квадратных уравнений?

Если в квадратном уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Являются ли квадратными уравнения?

Назовите коэффициенты каждого квадратного уравнения.

Какие из них являются полными, а какие неполными?

Как решаются неполные квадратные уравнения?

Решить уравнения в) и е)

0, то уравнение имеет 2 корня и 2) если a = 0, то уравнение имеет 1 корень 3) если a Например, сколько корней имеют уравнения? Найдите их. " width="640"

Алгоритм решения уравнения

• если a 0, то уравнение имеет 2 корня

и

2) если a = 0, то уравнение имеет 1 корень

3) если a

Например, сколько корней имеют уравнения? Найдите их.

0 , дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ax 2 =bx, ax 2 =c, ax 2 +c=bx, bx+c=ax 2 , (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax 2 +bx=c, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался французский математик Виет , однако он признавал только положительные корни (отрицательных чисел он не признавал). Лишь в XVII в. благодаря трудам нидерландского математика Жирара , а также Декарта и Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. " width="640"

Из истории ...

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (x 2 – x = a) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax 2 + bx + c = 0, где a 0 , дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ax 2 =bx, ax 2 =c, ax 2 +c=bx, bx+c=ax 2 , (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax 2 +bx=c, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался французский математик Виет , однако он признавал только положительные корни (отрицательных чисел он не признавал). Лишь в XVII в. благодаря трудам нидерландского математика Жирара , а также Декарта и Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения

, где

Сделаем это уравнение приведенным, разделив обе его части на a:

Выделим полный квадрат двучлена:

Приведем правую часть к общему знаменателю:

0 при любых а, то знак дроби зависит от знака числителя D. Здесь возможны 3 случая: 1) Если D 0 , то уравнение имеет 2 корня . Найдем их. или - формулы корней квадратного уравнения Принята краткая форма записи корней - " width="640"

Введем обозначение D = b 2 - 4ac, тогда уравнение примет вид:

Число корней этого уравнения зависит от знака дроби

Т.к. 4a 2 0 при любых а, то знак дроби зависит от знака числителя D. Здесь возможны 3 случая:

1) Если D 0 , то уравнение имеет 2 корня . Найдем их.

или

- формулы корней квадратного уравнения

Принята краткая форма записи корней -

2) Если D = 0 , то уравнение имеет 1 корень . Найдем его.

3) Если D , то уравнение не имеет корней.

Число D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения .

Дискриминант от лат. - «различитель».

Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два, один или вообще не иметь корней.

0, то уравнение имеет 2 корня б) если D = 0, то уравнение имеет 1 корень в) если D " width="640"

Алгоритм решения квадратного уравнения

, где

• Записать чему равны a, b, и c;
• Найти дискриминант D = b 2 – 4ac ;
• а) если D 0, то уравнение имеет 2 корня

б) если D = 0, то уравнение имеет 1 корень

в) если D

0 Зн. 2 корня Ответ: 0,5 ; 2 " width="640"

Пример решения квадратного уравнения

по формуле

а) Решить уравнение 2x 2 – 5x + 2 =0

• a = 2 , b = -5 , c = 2
• D = ( -5 ) 2 – 4* 2 * 2 = 25 – 16 = 9 0 Зн. 2 корня

Ответ: 0,5 ; 2