Решение прототипов задания 21 ОГЭ из Открытого Банка Заданий ФИПИ

1. Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение. Пусть х к/ч – скорость лодки в неподвижной воде ( х 0):

Составим математическую модель ( уравнение) : - = 3.

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = ( х-2)(х+2), получим 297(х+2) – 297(х-2) = 3( х-2)(х+2)

297х+ 297*2-297х+297*2=3(х²-4)

297*4=3х²-12

3х²-12 - 297*4= 0

х²-400 = 0

х²= 400

х=±

х= ± 20

х₁= - 20 – не подходит по смыслу задачи

х₂ = 20

Проверка : ( 20-2)(20+2) ≠0

Ответ: 20 км/ч скорость лодки в неподвижной воде

2. Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные —— 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?

Решение.

1 способ.( арифметический)

1. 100% - 86% = 14% - фруктовая масса в свежих фруктах

2. 100% - 23% = 77% - фруктовая масс в сухих фруктах

3. 341*14%:100% = 47,74 (кг) - фруктовая масса в свежих фруктах

4. 47,74:77%*100% = 62 (кг) – масса сухих фруктов.

2 способ. (арифметический)

Если 341 кг фруктов имеют влажность 86 %, то жидкость составляет 341 × 0,86 = 293,26 кг, а сухое вещество имеет массу 341- 293,26 = 47,74 кг.

Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 23 % воды, сухое вещество составляет 77 %. Следовательно,

47,74кг-----77%

Х кг – 100 %

откуда Х= 47,74∙100/ 77 = 62кг.

3 способ ( алгебраический)

Так как фруктовая масса одна, то составим уравнение:

= ; 341*14 = х*77; 341*2=х*11; 31*2=х; х = 62

Ответ: из 341 кг свежих фруктов получится 62 кг сухих.

Указание. При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода.

3. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение. По смыслу задачи к финишу вторым пришел второй велосипедист. Обозначим скорость его движения через х км/ч ( х 0).

Известно, что второй пришел на финиш на 3 часа позже. Составим уравнение: - = 3 (Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = х (х+10), получим

60(х+10) – 60х = 3х(х+10)

60х+600-60х= 3х²+ 30х

600=3х²+ 30х

3х²+ 30х= 600

х² + 10х -200 = 0

х₁= -20 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 10

Проверка: 10(10+10) ≠ 0

Ответ: скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым , равна 10 км/ч.

4. Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение. Пусть х деталей в час делает первый рабочий ( х 0). Известно, что первый рабочий делает в час на 5 деталей больше, чем второй, значит, второй – на столько же меньше.

Составим математическую модель ( уравнение) : - = 3.

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = х( х-5), получим

180х-180(х-5) = 3 х( х-5)

60х – 60( х-5) = х( х-5)

60х-60х +300 = х² – 5х

х² – 5х – 300 = 0

х₁ = - 15 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 20

Проверка : 20(20-5) ≠0

Ответ: 20 деталей в час делает первый рабочий

5. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Так как поезд движется в том же направлении, что и пешеход, то скорость поезда относительно пешехода равна : 93-3 = 90 ( км/ч)

Переведем скорость из км/ч в м/с : 90 км/ч = 90*1000:3600= 25 м/с.

Поезд проходит мимо пешехода за 24 секунды, тогда длина поезда равна: 25*24 = 600(м)

Ответ: Длина поезда 600 метров

6. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

Решение. Пусть велосипедист выехал из города В в город А со скоростью х км/ч (х0)

Составим математическую модель ( уравнение) : = + 8.

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = х( х-8), получим

209(х-8)= 209х+8х(х-8)

209х-209*8=209х+8х²-64х

8х²-64х +209*8=0

х²- 8х +209=0

х₁ = - 11 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 19

Проверка: 19(19-8) ≠0

Ответ: скорость велосипедиста на пути из В в А равна 19 км/ч.

7. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Решение. Пусть х км/ч – скорость течения реки (х 0)

Составим математическую модель ( уравнение) : + + 11 = 32

+ = 21

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = (15-х)(15+х), получим 140(15+х)+140 (15-х)= 21 (15-х)(15+х)

140*15 +140х+140*15 -140х=21(15²-х²)

140*15*2 – 21*15² +21 х²= 0

20*5*2 -15²+х² =0

х²=25

х₁ = - 5 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 5

Проверка: (15-5)(15+5) ≠0

Ответ: скорость течения реки 5км/ч.

8. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 129 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Так как поезд движется в том же направлении, что и пешеход, то скорость поезда относительно пешехода равна : 129+6 = 135 ( км/ч)

Переведем скорость из км/ч в м/с : 135 км/ч = 135*1000:3600= 37,5 м/с.

Поезд проходит мимо пешехода за 8 секунды, тогда длина поезда равна: 37,5*8 = 300(м)

Ответ: Длина поезда 300 метров

9. Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Решение. Пусть х л в минуту пропускает вторая труба

Составим математическую модель ( уравнение) : - = 6.

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = х( х-15), получим

100х-100(х-15)=6х(х-15)

100х-100х+100*15= 6х²-6*15х

6х²-6*15х-100*15=0

х²-15х-250=0

х₁ = - 10 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 25

Проверка: 25(25-15) ≠0

Ответ: вторая труба пропускает 25 л в минуту

10. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение. Пусть велосипедист выехал из города А в город В со скоростью х км/ч (х0)

Составим математическую модель ( уравнение) : = + 4.

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = х( х+9), получим

112(х+9) =112х +4х (х+9)

28(х+9) =28х +х (х+9)

28х+28*9=28х+х²+9х

28*9= х²+9х

х²+9х – 252 =0

х₁ = - 21 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 12

Проверка: 12(12+9) ≠0

Ответ: скорость велосипедиста на пути из А в В равна 12км/ч

11. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение. Пусть х % - концентрация первого раствора и у % - второго.

Рассмотрим первую ситуацию

10 кг 16 кг 26 кг

Составим уравнение: + =

10х +16у = 26*55

5х +8у = 13*55 (1)

Рассмотрим вторую ситуацию

Составим уравнение: + =

х+у=2*61 (2)

Решим систему уравнений: { 5х +8у = 13*55,

х+у=2*61

Решить систему уравнений можно способом подстановки, выразив у из второго уравнения и подставив полученное выражение в первое уравнение, или способом алгебраического сложения, умножив второе уравнение на (-8) и сложив с первым.

После всех преобразований получим, что х =87. Это процентная концентрация первого раствора. Найдем количество кислоты в первом растворе: 10*81:100= 8,7 кг.

Ответ: 8,7 кг кислоты содержится в первом растворе.

12. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Средняя скорость движения на всем пути равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному на это путь время.

Пусть весь пройденный путь равен S.Найдем время движения на каждом участке пути:

t₁= ч, t₂= . Общее время t= t₁+ t₂ ; t= + = . Тогда средняя скорость движения на всем пути равна S : = 94,5 ( км/ч)

Ответ: средняя скорость движения равна 94,5 км/ч.

13. Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км -  со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Средняя скорость движения на всем пути равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному на это путь время.

Весь путь равен : S = 350+105+160 = 615 (км)

Найдем время движения автомобиля на каждом участке пути :

t₁= = 5 (ч); t₂= = 3 (ч); t₃= = 2 (ч).

Общее время равно 5 + 3 + 2 = 10 (ч).

Средняя скорость движения равна : V= 615 : 10 = 61,5 ( км/ч)

Ответ: средняя скорость движения автомобиля равна 61,5 км/ч.

14. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение. Пусть половина пройденного пути равна S.

Так как второй автомобиль прибыл в В одновременно с первым автомобилем, составим уравнение = + ; = +

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = 78х( х+7), получим

2*78(х+7) = х( х+7) + 78х

156х + 156*7 = х²+ 7х + 78х

х² - 71х – 1092 = 0

х₁ = - 13 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 84

Проверка: 84(84+7) ≠0

Ответ: скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.

15. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Решение.

1 способ. Пусть х км/ч - скорость первого бегуна (х 0), тогда ( х+11) км/ч - второго бегуна. 20 мин = ч.

Из условия известно, что второй бегун пробежал круг за 1 - = ( ч). При этом через час после старта первому бегуну осталось пробежать 4 км до окончания первого круга ( расстояние 4 км – разность путей двух бегунов , пройдем одним за 1 ч, а другим за ч. Составим уравнение: ( х+11) - 1*х = 4

2(х+11) -3х = 12

2х + 22 – 3х = 12

-х = -10

х=10

2 способ.

20 мин = ч; 1 - = ( ч). Разность в пройденном пути равна 4 км.

Составим уравнение: ( х+11) - 1*х = 4

2(х+11) -3х = 12

2х + 22 – 3х = 12

-х = -10

х=10

Ответ: 10 км/ч – скорость первого бегуна.

16. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго —— 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

1 способ.

1. мин = ч = ч.

1) 30* = 14 ( км) – проехал второй за 28 минут

2) 286 – 14 = 272 (км) - проехали вместе

3) 272 : ( 10+30) = 6,8 (ч) – время в пути до встречи

4) 30 * 6,8 = 204 (км) – проехал второй

5) 204 + 14 = 218 (км), так как когда первый стоял 28 минут, второй проехал 14 км.

2 способ.

1. мин = ч = ч.

Пусть t ч – время движения первого велосипедиста (t 0) , тогда (t + ) ч ехал первый велосипедист.

Составим уравнение: 10 t +30 (t + ) = 286

10t + 30 t + 14 = 286

40 t= 272

t= 6.8 (ч) – время движения первого велосипедиста

6,8 + = (ч) – время движения второго велосипедиста

30* = 218 (км) проехал второй до встречи

Ответ: 218 км

17. Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные —— 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение .

1 способ.( алгебраический)

Так как фруктовая масса одна, то составим уравнение:

= ; 12х = 72*70; х= 6*70; х = 420

1. способ.( арифметический)

1)Вычислим процент мякоти

в свежих фруктах 100% - 88% = 12% , в сушеных фруктах 100% - 0% = 70%

2)вычислим количество свежих фруктов 70*72: 100= 420

Ответ: 420 кг свежих фруктов

18. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение . Пусть х км/ч – собственная скорость баржи ( х0)

По условию задачи известно, что на весь путь она затратила 5 часов.

Составим уравнение: + = 5

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = (х+5)( х-5), получим

48(х-5)+42(х+5)=5(х-5)(х+5)

48х-48*5+42х+42*5=5(х²-25)

90х-30=5(х²-25)

18х-6=х²-25

х²-18х-19=0

х₁ = - 1 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 19

Проверка: (19+5)(19-5) ≠0

Ответ: собственная скорость баржи равна 19км/ч

19. Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение. Плот проплыл 50 км со скоростью 5 км/ч, значит, он плыл 50:5= 10(часов), а лодка плыла 10-1=9 (ч).

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х км/ч (х 0).

По условию задачи известно, что на весь путь она затратила 9 часов.

Составим уравнение: + = 5

(Решение дробного рационального уравнения по учебнику Дорофеева Г.В. и др.)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель НОЗ = (х+5)( х-5), получим

108(х+5) + 108(х-5) = 9(х-5)(х+5)

108х + 108*5 + 108х – 108*5 = 9(х²-25)

12х + 12*5 + 12х – 12*8 = х²-25

х²-24х – 25 =0

х₁ = - 1 - не подходит по смыслу задачи

х₂= 25

Проверка: (25+5)(25-5) ≠0

Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 25 км/ч.