Решение прямоугольных треугольников.

Решение

прямоугольных треугольников.

Прямоугольным называется треугольник, у которого

Катеты – это

Гипотенуза - это

Элементы треугольника – это

Что означает термин «решить треугольник (прямоугольный)»?

один из его углов прямой, а два других угла острые.

взаимно перпендикулярные стороны.

третья сторона.

стороны и углы.

A

B

C

Р

2 см

1 см

М

К

Найти:  Р, ∠М, КМ

Какие элементы прямоугольного треугольника были известны?

Гипотенуза и катет.

Какие еще элементы треугольника мы нашли?

Второй катет и острые углы.

Нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника по известным двум его элементам называется решением прямоугольного треугольника

Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.

Теоретический материал:

• Определение синуса острого угла.
• Теорема Пифагора.
• Следствия прямоугольного треугольника.

sin A = а : с ; sin B = b : с.

т. е. синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению катета, лежащего против этого угла, и гипотенузы треугольника.

Короче говорят так: синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a ² + b²

c

b

a

Следствие о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике :

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

∠ А + ∠ В = 90°

А

c

b

В

С

a

Следствие о катете в прямоугольном треугольнике :

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 равен половине гипотенузы.

А

c

b

30 0

В

С

a

Случай 1

Случай 4

Случай 3

Случай 2

B

B

B

B

c

c

a

a

α

α

b

b

C

C

A

A

A

C

A

C

Катет и острый угол

Гипотенуза и острый угол

Катет и гипотенуза

Два катета

A

Случай 1 Два катета

c

b

Дано: а; b .

Найти: с; ∠ А; ∠ В.

Решение:

• По теореме Пифагора: c² = a² + b²;
• По определению: sin A = а : с;
• По следствию: ∠ В = 90° - ∠ А.

С

В

а

A

Случай 2 Катет и гипотенуза

c

b

Дано: с; b .

Найти: а; ∠ А; ∠ В.

Решение:

• По теореме Пифагора: а² = с² - b²;
• По определению: sin A = а : с;
• По следствию: ∠ В = 90° - ∠ А.

С

В

а

A

Случай 3 Гипотенуза и острый угол

c

b

Дано: с; ∠ А .

Найти: а; b; ∠ В.

Решение:

• По следствию: ∠ В = 90° - ∠ А ;
• По определению: sin A = а : с ⇒ а = с sin A ;
• По определению: sin В = b : с ⇒ b = с sin B .

С

В

а

A

Случай 4 Катет и острый угол

c

b

Дано: а; ∠ А .

Найти: с; b; ∠ В.

Решение:

• По следствию: ∠ В = 90° - ∠ А ;
• По определению: sin A = а : с ⇒ с = а : sin A ;
• По теореме Пифагора: b² = с² - a² .

С

В

а

sin A = а : с ⇒ а = с sin A

sin В = b : с ⇒ b = с sin B

cos A = b : с ⇒ b = с cos A

cos B = a : с ⇒ a = с cos B

sin A = а : с ⇒ с = а : sin A

cos A = b : с ⇒ с = b : cos A

tg A = а : b ⇒ а = b tg A

tg B = b : a ⇒ b = a tg B

Решение задач

стр. 130

№ 607 (1, 3, 5); 609.

Домашнее задание

стр. 130

№ 608,610.