Рекомендации по подготовке к выполнению задания № 15 (финансово-экономические задачи)

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №1 7 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня

Критерии проверки задания №17

Содержание критерия

Обоснованно получен верный ответ

Баллы

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:

— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;

— верный ответ, но решение недостаточно обосновано

3

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено

2

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

1

0

Задание 17 на ЕГЭ по математике профильного уровня

Основные ошибки, допускаемые участниками экзамена :

– неверное составление модели;

– вычислительные (арифметические);

– прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без

доведения ответа до числового значения;

– решение методом перебора без обоснования единственности;

– использование в решении без вывода формул для задач о

кредитовании, отсутствующих в учебниках (решение имеет вид

«формула – ответ»), что можно трактовать как отсутствие

построения модели задачи.

Что можно ожидать в качестве задания 17 на экзамене?

Различные типы задания №17 в вариантах ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задачи

на кредиты и оптимизацию производства товаров или услуг

Задание №17. Задачи на кредиты (схема 1 – платеж равными взносами)

Схема 1. Пусть планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S . Условия его возврата таковы:

– в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года;

– до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найти общую сумму платежей, внесенных клиентом, после погашения кредита, если все ежегодные платежи равны между собой .

Решение.

Задание №17. Задачи на кредиты (схема 2 – уменьшение долга каждый год на одну и туже величину)

Схема 2. Пусть планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S . Условия его возврата таковы:

– в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года;

– до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– после внесения платежа каждый год долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего года .

Найти общую сумму внесенных платежей после погашения кредита.

Решение.

Задание №17 на кредиты (кредит выплачивается равными платежами)

17

Пример 1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом прошлого года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превысит взятую в банке сумму на 156060 рублей?

Решение.

3 года – 3 строчки для вывода

Задание №17 на кредиты (уменьшение долга каждый год на одну и туже величину)

17

Пример 2 . В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Решение.

Задание №17 на кредиты (ЕГЭ 2018)

17

Решение задания №17 (ЕГЭ 2018)

Задание №17 на кредиты (долг в соответствии с данной таблицей)

ЕГЭ 2016

17

Решение задания

ЕГЭ 2015

Задание №17 (задача на оптимизацию)

Целевые функции

В задачах оптимизации обычно заданы определённые условия производства какой-либо продукции или услуги и требуется найти значения некоторых величин с целью максимизации прибыли или минимизации расходов.

Математическая модель ( т.е. формализация условия задачи посредством неравенств и уравнений, задающих связи между данными величинами ) любой из таких задач обычно приводит к одному-двум линейным уравнениям (неравенствам) относительно двух данных неизвестных и к одному линейному или простейшему нелинейному уравнению, которое связывает данные неизвестные и величину, максимум или минимум которой надо определить.

После введения в качестве новой неизвестной (параметра) этой величины (её обычно называют целевой функцией ) задача сводится к определению наибольшего (наименьшего) значения параметра, при котором полученное уравнение имеет хотя бы один корень на множестве неотрицательных чисел, удовлетворяющий данным ограничениям.

Задание №17 (задача на оптимизацию)

17

Пример 3 . Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t   2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Владимир платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе – 300 рублей.

Владимир готов выделять 1200000 рублей на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Способы решения (задача на оптимизацию)

Решение. 1- й способ ( введение параметра).

Способы решения (задача на оптимизацию)

Решение. 2- й способ ( с использованием производной).

Способы решения (задача на оптимизацию)

Продолжение решения

Пример задания 17 из вариантов ЕГЭ 2015 года

Задание №17 (задача на оптимизацию)

17

Пример 4. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t   2 тыс. рублей в конце года t ( t =1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года.

При каких положительных значениях r это возможно?

Задание №17 (задача на оптимизацию)

Способы решения (задача на оптимизацию)

Решение. 1- й способ (предложенный в критериях).

Способы решения (задача на оптимизацию)

Решение. 2 - й способ (с использованием производной).

Продолжение решения

Графический способ нахождения экстремума линейной целевой функции

Если точка экстремума имеет дробное значение

Замечание. Если бы в аналогичной задаче координаты точки B оказались дробными числами, нужно было бы найти ближайшие к B точки четырёхугольника OABC или его внутренней области (это справедливо и для любого другого многоугольника) с целыми координатами (их называют опорными ) и выбрать ту из них, для которой прямая ( * ) (или аналогичная ей) пересекает ось абсцисс (или ось ординат) в точке, наиболее удалённой от начала координат.

Дале необходимо исследовать, будет ли решение, полученное с помощью этой прямой, оптимальным.

Нелинейная целевая функция

Тренировочная работа

21.12. 201 7

Подготовительные задания 17

31

31

31

31

31

Ответы к подготовительным заданиям 17

31

Зачетные задания 17

31

Ответы к зачетным заданиям 17