Россия, Новосибирск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 25.04.2024 04:00
Речицкая Ольга Сергеевна
учитель математики
47 лет
638
70 954 
Местоположение
Специализация
Расстояние от точки до плоскости
Категория:
Геометрия
15.09.2022 17:08
Учебник:
Геометрия. 10 класс. Базовый и углубленный уровни. Нелин Е.П., Лазарев В.А. М.: 2015. - 304 с.
Просмотр содержимого документа
«Расстояние от точки до плоскости»
Геометрия 10 класс
Речицкая О.С.
- Угол между прямыми равен 90 0 . Как называются такие прямые?
- Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?»
- Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она …»
(Перпендикулярные)
(Да)
(Перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости)
- Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
- Две прямые, перпендикулярны третьей прямой, …
(Они параллельны)
(Параллельны)
- Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
- Вспомним, как называются отрезки
AM - ? AH - ? Точка M? Точка H?
(Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой)
A
a
M
H
АМ – наклонная к прямой а
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а
Н – основание перпендикуляра
М – основание наклонной
НМ – проекция наклонной.
перпендикуляр
наклонная
Определите расстояние от точки М до прямой а
Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра
M
MH
a
H
N
Н – основание перпендикуляра
HN – проекция наклонной
N – основание наклонной
- А как же определить расстояние от точки до плоскости?
Рассмотрим плоскость α и точку А α
1) Через точку А, проведем прямую а α , а∩ α =Н, АН – перпендикуляр, Н – основание перпендикуляра
А
2) Отметим в плоскости α произвольную точку М, отличную от Н.
АМ – наклонная, проведённая из А к плоскости α , НМ – её проекция на плоскость α .
α
Н
М
3) Докажите, что АН АМ; чему равен ∟МНА?
∟ МНА= 90 0 , значит ∆АНМ – прямоугольный: АН – катет, АМ - гипотенуза, следовательно АН АМ
Вывод. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Длину перпендикуляра будем называть расстоянием от точки А до плоскости α .
перпендикуляр
наклонная
Определите расстояние от точки М до плоскости ɣ
Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра
M
MH
ɣ
H
N
NH – проекция наклонной на плоскость ɣ
АВ
AB
AB
А
АВ – расстояние от точки до плоскости
С
E
В
D
α
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра опущенного из данной точки на данную плоскость
Задача 1 :
Доказать, что проекции равных наклонных равны .
M
MN = NK
Доказать:
NH=HK
ɣ
K
H
N
АА 1 = ММ 1 . А 1 М 1 β Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. " width="640"
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
АА 1 и ММ 1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β .
М
А
α
По свойству параллельных плоскостей отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. АА 1 || ММ 1 = АА 1 = ММ 1 .
А 1
М 1
β
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
М
а
Доказательство приведено в задаче
№ 144
Изучить дома самостоятельно.
β
α
N
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
М
а
β
в
α
N
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
- № 138 (а)
- № 139 ( а)
- № 140
- № 143
А
Подсказки:
φ
- Определите вид треугольника.
d
- Воспользуйтесь соотношением сторон и углов прямоугольного треугольника.
С
В
Ответ: АВ = d/cos φ , ВС = d tg φ .
Подсказка:
Сравните треугольники АВН и ВНС
Подсказки:
А
Сравните треугольники АВО и АСО
1,5
Найдите АВ и АС
С
Определите вид треугольника АВС
О
В
Найдите СВ
Ответ: СВ = 3 см
Найти расстояние до плоскости треугольника от точки P , равноудаленной от его вершин и не лежащей в его плоскости .
P
Где может находиться точка О?
Каким свойством обладает точка О?
Что является расстоянием от точки Р до плоскости треугольника?
О
A
О
Точка О равноудалена от вершин треугольника
О
B
О – центр, описанной окружности.
C
От чего зависит местонахождения центра окружности, описанной около треугольника?
От вида треугольника
Δ ABC - прямоугольный
Δ ABC - остроугольный
Δ ABC - тупоугольный
О
О
О
План решения задачи:
- Определить вид треугольника и местонахождение точки О.
- Найти радиус описанной окружности.
Δ АВС
Прямоугольный
R = c/2, где с – гипотенуза треугольника
Правильный
Остроугольный и тупоугольный
R = , где а – сторона треугольника
R =
S =
Р = ( a+b+c)/2
3. По теореме Пифагора найти расстояние РО
Задача 2:
Девочки: Найти расстояние от точки К до плоскости равностороннего треугольника со стороной 6 см и равноудаленной от его вершин на расстояние равное 8.
Мальчики: Точка М находится на расстоянии 15 см от всех вершин треугольника со сторонами 6 см, 10 см, 8 см. Найти расстояние от точки М до плоскости треугольника.
Ответ:
Ответ:
Задача 3:
Девочки: Точка К находится на расстоянии 7 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см, 6 см. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника.
Мальчики: Точка К находится на расстоянии 8 см от вершин треугольника со сторонами 5 см, 5 см, 8 см. Найти расстояние от точки К до плоскости треугольника.
Ответ:
Ответ:
№ 143
М
Подсказки:
- Опустите перпендикуляр МО к плоскости (АВС)
4
- Сравните треугольники АОМ, ВОМ и СОМ
С
А
- Чем является точка О для треугольника АВС?
О
6
- Воспользуйтесь формулой связи радиуса описанной окружности правильного треугольника с его стороной
В
- Найдите МО, как катет треугольника МОС
Ответ: МО = 2 см
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проецируется на его плоскости?
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется в центр описанной окружности на его плоскости
Какой вывод можно сделать из решения этой задачи?
Докажите, что любая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех его вершин.
М
С
А
О
В
Составьте обратное утверждение, верно ли оно?
ИТАК:
Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α
М
Назовите все наклонные к плоскости α
Назовите проекции этих наклонных на плоскость α
α
К
N
С
А
В
α || β , назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями
α
β
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми
Домашнее задание
Теория : пункт 19, стр. 40-41
Задачи: (№ 139, № 140, № 144) ,
№ 141, №143, № 153, № 165
© 2022, Речицкая Ольга Сергеевна 746 1
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
