Проектно-исследовательская работа "Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля"

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №33»

Проектно-исследовательская работа

Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля

Выполнила: Буторина Анастасия 9А класс

Учитель: Кудрявцева Татьяна Леонидовна

2017 год

Введение

Причины:

Понятие модуля является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики, но рассмотрение задач, связанных с понятием модуля (а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в ВУЗы, ЕГЭ.

Работа посвящена изучению теоретического материала по теме: «Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля» и выявлению способов построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Цели:

1. Провести исследование и анализ имеющихся способов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

2. Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные.

3. Провести обобщение и систематизацию имеющего материала.

4. Научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

1. Используя различные методы исследования (теоретический, практический, исследовательский), углубить знания по теории модуля и научиться решать задачи, выходящие за страницы школьных учебников, тем самым расширить познавательный интерес к изучению алгебры.

2. Отработать алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

3. Раскрыть сущность методов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Содержание

§1. Построение графиков функций, содержащих модуль

1. Построение графика функции

2. Построение графика функции

3. Построение графика функции

1.4. Построение графиков функций вида

§2. Решение задач КИМ ГИА по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля"

Заключение

Литература

§1. Построение графиков функций, содержащих модуль

1.1. Построение графика функции

Для построения графика функции y=f(|x|) нужно построить график функции y=f(x), стереть ту часть графика, которая расположена левее оси ординат, и нарисовать на ее месте отраженную симметрично относительно оси ту часть графика, которая лежит правее оси:

Пример 1. Построить график функции y = x² – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x² – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

1.2. Построение графика функции

Для построения графика функции нужно построить график функции и отразить симметрично относительно оси абсцисс ту часть графика, которая лежит ниже оси:

Пример 2. Построить график функции y = |x² – 8x + 12|.

Решение.

График функции получают следующим образом: строят график функции y = x² – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

1. Построение графика функции

Для построения графика функции есть два подхода.

Первый подход заключается в том, что сначала строится график у которого стирается та часть, которая расположена левее оси ординат, и рисуется на ее месте отраженная правая часть:

Второй состоит в том, что строится график функции и отражается симметрично относительно оси абсцисс та часть графика, которая лежит ниже оси

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x² – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x² – 8x + 12 → y = x² – 8|x| + 12 → y = |x² – 8|x| + 12|. 

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

1.4. Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2| и построим её график.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

1) у = x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ – 1 и x ≥ 2;

2) у = – x – 1 + x – 2 = – 3, при x

3) у = x + 1 + x – 2 = 2x – 1, при x ≥ – 1 и x

4) у = – x – 1 – x + 2 = – 2x + 1, при x

Тогда исходная функция будет иметь вид:

y = 3, при x ≥ 2;

y = –3, при x

y = 2x – 1, при –1 ≤ x

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

§2. Решение задач КИМ ГИА по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля"

По­строй­те гра­фик функ­ции у=∣х+1∣–∣х–1∣ и най­ди­те все зна­че­ния  , при ко­то­рых пря­мая у = kх  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что

Гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке.

Заключение

Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут серьёзный математический вопрос - построение графиков функций, содержащих знак модуля.

В ходе работы мы рассмотрели теоретический материал по абсолютной величине и решили практические задачи. Многообразие видов таких функций, различия в построениях их графиков, приобретение новых знаний, сделало нашу работу интересной и увлекательной.

В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных, квадратичных, дробно­-рациональных функций. Научилась преобразованию графиков, содержащих знак модуля. Также в ходе выполнения работы я экспериментировала с построением графиков функций, придуманных самостоятельно. Для этих экспериментов я использовала возможности программы Microsoft office Excel. Также возможности программы Microsoft office Excel я использовала для самопроверки правильности построения графиков.

Литература

1. Гельфанд И. М. и др. «Функции и графики» - М. Наука, 1973

2. Садыкина И. «Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля» - Математика №33, 2004

3. Пичурин Л, Ф. «За страницами учебника алгебры» - М. Просвещение, 1999

4. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. И. Л. Никольская - М. Просвещение, 1991

5. В. Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова «Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов». - Волгоград: Учитель, 2006.

Интернет ресурс

1. https://blog.tutoronline.ru/grafiki-funkcij-s-modulem

2. https://znaniia.com/t3sk/11488633

3. https://foxford.ru/wiki/matematika/Rrafiki-funktsiy-v-f-x-i-v-f-x

4. https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/03/26/nauchno-issledovatelskaya-rabota-grafiki-funktsiy-soderzhashchih 5

5. http://www.youtube.com «Построение графиков функций, содержащих модуль». Inna Feldman