Проект по математике "Решето Эратосфена"

Полное наименование образовательного учреждения

МБОУ им.Героя Советского Союза В.И.Аулова с.Первомайское

Лев-Толстовского муниципального района Липецкой области

Название секции

Математика

Название работы

Решето Эратосфена

Фамилия, имя, отчество обучающегося

Толстушенко Виктор Сергеевич

Класс

Ученик 6 класса

Фамилия, имя, отчество руководителя

Шуваева Светлана Борисовна

Должность

Учитель математики

2017 год

Оглавление

I. Введение,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…………………………………………………3

II. Основная часть

2.1. Анкетирование учащихся 6-9 классов……………………………………………………………4

2.2.Биография Эратосфена……………………………………………………………………………..4

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях………………………………………………....4

2.4.Краткое описание основных используемых понятий (простые и составные числа)…………..4

2.5.История появления «решета Эратосфена»………………………………………………………..5

2.6. Формула простого числа…………………………………………………………………............5

III. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена………………………………..6

IV.Заключение………………………………………………………………………………………….7

V.Список используемой литературы и интернет- ресурсов……………………………….................8

VI. Приложение 1 Простые числа от 2 до 997…………………………………………..…………...9.

Приложение 2 Простые числа от 2 до 2803…………………………………..……...................10

Приложение 3 Работы и сочинения Эратосфена в математике, астрономии,

географии, научной хронологии……………………………………………………….…………..…11

1.Введение

На уроке математики в 6 классе мы изучили тему «Простые числа». Учитель математики Шуваева Светлана Борисовна рассказала нам очень интересную историю о возникновении таблицы простых чисел и сказала, что эту таблицу можно называть «Решетом Эратосфена». Меня эта тема заинтересовала, и я задумался о том, а как самому можно составить таблицу простых чисел и где в жизни можно её применять.

Цель работы: изучить алгоритм построения «решета Эратосфена» и изготовить его материальную модель для использования на уроках математики.

Задачи:

1. Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы.

2. Провести опрос учащихся 6-9 классов по теме «.Решето Эратосфена».

3. Выяснить существует математическая формула для их отыскания.

4. Изготовить математическую модель «Решето Эратосфена».

5. Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: можно ли найти формулу для расчёта простых чисел.

II. Основная часть

2.1 Анкетирование учащихся 6-9 классов

Я решил провести опрос среди учащихся нашей школы, чтобы выяснить знают ли они «Кто такой Эратосфен?», Что такое решето? и «Что такое решето Эратосфена и где его можно применить?». Результаты опроса показали: на 1 вопрос: «Знаете ли вы, что такое решето?» «Нет» ответили 14 учащихся из 15 опрошенных.На 2 вопрос: «Знаете ли вы, кто такой Эратосфен?» «Нет» ответили 13 учащихся из 15 опрошенных. На 3 вопрос: «Знаете ли вы, что такое решето Эратосфена?» «Нет» ответили 14 учащихся из 15 опрошенных. Анализируя результаты опроса, я убедился, что тема моего проекта актуальна.

2.2. Биография Эратосфена

Эратосфен ( ок. 276-194 до н. э.)  - греческий математик, астроном, географ, поэт и ученый. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах. Он руководил Александрийской библиотекой и был воспитателем наследника престола. Эратосфен был очень образованным и разносторонним человеком, он занимался филологией, хронологией, математикой, астрономией, географией, сам писал стихи. Эратосфен заложил основы математической географии, вычислив с большой точностью величину земного шара. В математике Эратосфена интересовал вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до . Эратосфен считал 1 простым числом. Сейчас математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Он придумал способ получения всех простых чисел, который известен как «Решето Эратосфена».

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях

Я рассмотрел значение слова решето в толковых словарях Ефремовой, Ушакова, Ожегова, и в большом энциклопедическом словаре. Значение слова РЕШЕТО в Толковом словаре Ефремовой решето- это предмет хозяйственной утвари в виде широкого деревянного обода с натянутой на одну сторону крупной сеткой. В толковом словаре Ушаковой решето- это утварь для просеивания муки. В толковом словаре Ожегова решето - обруч с натянутой на него частой мелкой сеткой для процеживания, просеивания. В большом энциклопедическом словаре решето – это устройство для разделения сыпучих масс по размеру частиц просеиванием через сетки. Различают сита плоские (вибрационные, качающиеся) и барабанные (вращающиеся).

В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные. Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число. Например: 13,17,19 и другие.

Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы.

Составные числа кратны трем и более натуральным числам. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется составным числом.Например:6,8,12 и другие. Среди простых чисел встречаются числа-близнецы. Числа- близнецы это простые числа, отличающиеся на 2, например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13…

В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до

100 000 000.

2.5. Из истории появления «решета Эратосфена» Метод поиска простых чисел разработан и применен древнегреческим ученым Эратосфеном и поэтому называется «решето Эратосфена». Метод «решета Эратосфена» состоит в вычеркивании чисел, кратных простым числам, меньшим заданного. Наименьшее из не вычеркнутых натуральных чисел и является следующим простым числом. С помощью метода Эратосфена определим простые числа первых двух десятков ряда натуральных чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

• 1 — не простое число, вычеркивается.

• 2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

• 3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).

• 5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).

• 7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).

• Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.

Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.

Расширяя поле до 1000 или 10 000, мы тем же методом, пропустив все числа через «решето Эратосфена», можем найти простые числа до 1000 или 10 000. Метод универсален, с его помощью таблицу простых чисел можно расширять до бесконечности.

2.6. Формула простого числа

Леонард Эйлер указал формулу: p = x * x – x + 41, позволяющую вычислять сорок одно простое число, если х = 0, 1, 2… 40. Но по этой формуле нельзя определить все простые числа, а всего лишь 41 число. Пьер Ферма высказал предположение, что все числа вида 2^m+1, где m=2ⁿ, простые. 
И в самом деле первые 4 числа (n=1,2,3,4) 
 2²+1=5,   2⁴+1=17,   2⁸+1=257,   2¹⁶+1=65537
простые, но пятое число  2³²+14294967297  - составное.

1) 0 х 0 - 0 + 41 = 41.

2) 5 х 5 – 5 + 41 = 61.

3) 20 х 20 – 20 + 41 = 421.

4) 3 х 3 – 3 + 41 = 47.

5) 40 х 40 – 40 = 1601

Марен Марсен заинтересовался числами вида 2^p-1, где p простое число. 
При p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получим простые числа: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287.  Но М₁₁= 2047 = 23*89 - составное.  Составными будут и числа М₂₃ и М₂₉ 
Леонарду Эйлеру удалось доказать, что простым является число М₃₁ = 2147 483 647.
В 1883 г.

Иван Михеевич Первушин сумел доказать, что простым является 
М₆₁=2 305 843 002 913 693 951. В наше время при помощи ЭВМ найдено еще несколько простых чисел этого вида. Одно из последних -  2²¹⁶⁰⁹¹ – 1 . Но и сейчас никто не знает формул, по которым можно было бы вычислить все новые простые числа. Их поиск напоминает поиск новых звезд на ночном небе, при этом роль телескопов исполняют самые мощные и совершенные из всех современных ЭВМ.

Ш. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена

Для изготовления модели решета Эратосфена я взял кусок фанеры размером 40*40 сантиметров квадратных. Расчертил 100 клеток шириной по 4 сантиметра. Выписал все целые числа от 1 до 100 в виде прямоугольной таблицы. Вычеркнул все числа, кратные 2 (за исключением самой 2), проведя вертикальные черты во втором, четвертом и шестом столбцах. Вычеркнул все числа, кратные 3, (за исключением самой 3), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число 5. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 5, провёл диагонали, идущие вниз и влево. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 7, провёл диагонали, идущие с наклоном вправо и вниз. Числа 8,9 и 10 – составные, их кратные уже были вычеркнуты раньше. Моя работа по составлению списка простых чисел, не превосходящих 100, на этом закончилась. В вычеркнутых числах я сделал на уроке технологии отверстия, а оставшиеся простые числа с помощью прибора для выжигания обвёл, чтобы их было отчетливо видно, и покрыл простые числа лаком. Данную модель я изготовил своими руками.

А почему эта модель называется решето? Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа – «решето Эратосфена». Найти редкие оазисы простых чисел, затерянные в обширных пустынях составных чисел, нелегко. Решето Эратосфена позволяет это сделать!

IV. Заключение.

Решето Эратосфена работает, как вычислительная машина. Так, значит, Эратосфен изобрел счётную машину. А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Формулы нет, а Решето есть. И создав модель Решета Эратосфена, я построил таблицу простых чисел от 2 до 97. Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но как, ни странно: формулы нет! Моя гипотеза о том, можно ли найти формулу для расчёта простых чисел оказалась не полностью осуществимой. Сколько столетий уже искали, но никто не может создать. В это настолько не верится, что и сегодня современные математики начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может я со временем смогу вывести эту формулу и мне повезёт?

V.Список литературы и интернет-ресурсы:

1.http://ktoikak.com/eratosfen-kratkaya-biografiya/ Энциклопедия полезных знаний © ktoikak.com

2.http://www.aggregateria.com/EH/eratosfen.html

3.htt://ru.wikipedia.org/wiki/Решето Эратосфена

3.Толковый словарь Ефремовой, 2012 г

4. Толковый словарь Ушакова, 2012 г

5.Толковый словарь Ожегова, 2012 г

6. "Квант" №1, 1974 г

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Работы и сочинения Эратосфена

Работы по математике

Из сочинений Эратосфена по математике до нашего времени дошло только написанное к царю Птолемею письмо об удвоении куба. Это письмо сохранилось в комментарии Евтокия к трактату Архимеда «О шаре и цилиндре». В письме содержатся некоторые исторические сведения о делийской задаче, а также описание прибора, изобретённого самим автором и известного под именем мезолябия.

Сведения о других математических сочинениях Эратосфена отличаются крайней неполнотой. Папп в двух местах своего «Собрания» называет сочинение Эратосфена «О средних величинах», замечая при этом, что оно во всех своих предположениях стоит в связи с линейными местами.

О сочинении Эратосфена «Платоник», посвящённом пропорциям, говорит Теон Смирнский. Возможно, что именно к Эратосфену восходит алгоритм «разворачивания всех рациональных отношений из отношения равенства», описанный Теоном Смирнским и Никомахом Герасским.

Отрывок из ещё одного сочинения Эратосфена приводит во «Введении в арифметику» Никомах Герасский. То же делает и Ямвлих в своём комментарии к этому сочинению Никомаха. Предмет этого отрывка состоит в изложении найденного Эратосфеном способа определения произвольного количества последовательных простых чисел (так называемое решето Эратосфена).

Работы по астрономии

Из сочинений Эратосфена по астрономии до нашего времени дошло только одно: «Катастеризмы» — перечисление созвездий и заключающихся в них звёзд, где указывается до 700 объектов. Определения положений этих звёзд сочинение не даёт.

Для своих астрономических наблюдений Эратосфен установил под портиком здания Мусейона большие армиллярные сферы.

Эратосфен определил угловое расстояние от экватора до тропика: он нашёл его равным 11/83 от 180°.

Работы по геодезии и географии

В тесной связи с астрономией находится работа Эратосфена, состоящая в измерении длины земного меридиана. Краткое изложение этой работы известно нам по трактату Клеомеда «О круговращении небесного свода»:

Измерение Земли по Эратосфену

Эратосфен говорит, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане. И поскольку меридианы в космосе являются большими кругами, такими же большими кругами обязательно будут и меридианы на Земле. И поскольку таков солнечный круг между Сиеной и Александрией, то и путь между ними на Земле с необходимостью идёт по большому кругу. Теперь он говорит, что Сиена лежит на круге летнего тропика. И если бы летнее солнцестояние в созвездии Рака происходило ровно в полдень, то солнечные часы в этот момент времени с необходимостью не отбрасывали бы тени, поскольку Солнце находилось бы точно в зените; дела и в самом деле обстоят таким образом в [полосе шириной] в 300 стадиев. А в Александрии в этот же час солнечные часы отбрасывают тень, поскольку этот город лежит к северу от Сиены. Эти города лежат на одном меридиане и на большом круге. На солнечных часах в Александрии проведём дугу, проходящую через конец тени гномона и основание гномона, и этот отрезок дуги произведёт большой круг на чаше, поскольку чаша солнечных часов расположена на большом круге. Далее, вообразим две прямые, опускающиеся под Землю от каждого гномона и встречающиеся в центре Земли. Солнечные часы в Сиене находятся отвесно под Солнцем, и воображаемая прямая проходит от Солнца через вершину гномона солнечных часов, производя одну прямую от Солнца до центра Земли. Вообразим ещё одну прямую, проведённую от конца тени гномона через вершину гномона к Солнцу на чаше в Александрии; и она будет параллельна уже названной прямой, поскольку уже сказано, что прямые от разных частей Солнца к разным частям Земли параллельны. Прямая, проведённая от центра Земли к гномону в Александрии, образует с этими параллельными равные накрестлежащие углы. Один из них — с вершиной в центре Земли, при встрече прямых, проведённых от солнечных часов к центру Земли, а другой — с вершиной на конце гномона в Александрии, при встрече с прямой, идущей от этого конца к концу его же тени от Солнца, там где эти прямые встречаются наверху. Первый угол опирается на дугу от конца тени гномона до его основания, а второй — на дугу с центром в центре Земли, проведённую от Сиены до Александрии. Эти дуги подобны между собой, поскольку на них опираются равные углы. И какое отношение имеет дуга на чаше к своему кругу, такое же отношение имеет и дуга от Сиены до Александрии [к своему кругу]. Но найдено, что на чаше она составляет пятидесятую часть своего круга. Поэтому и расстояние от Сиены до Александрии с необходимостью будет составлять пятидесятую часть большого круга Земли. Но оно равно 5 000 стадиев. Поэтому весь круг будет равен 250 000 стадиям. Таков метод Эратосфена.

Карта Эратосфена

Позднее полученное Эратосфеном число было увеличено до 252 000 стадиев. Определить, насколько эти оценки близки к реальности, трудно, поскольку неизвестно, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Но если предположить, что речь идёт о греческом (178 метров), то его радиус земли равнялся 7 082 км, если египетским (157,5), то 6 287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6 371 км, что делает вышеописанный расчёт выдающимся достижением и первым достаточно точным расчётом размеров нашей планеты.

В сравнительно больших отрывках дошло до настоящего времени сочинение Эратосфена о географии. В полном своём составе оно делилось, по свидетельству Страбона, на три книги. В первой автор дал критический обзор истории географии, от первого появления географических понятий у Гомера до своих непосредственных предшественников, то есть до историков и географов, воспользовавшихся походами Александра Македонского и их описаниями. Вторая книга излагает основы географии по взглядам самого автора. Предмет третьей книги составляет суша.

Другие работы Эратосфена

Эратосфен является основателем научной хронологии. В своих «Хронографиях» он пытался установить даты, связанные с историей Эллады, составил список победителей Олимпийских игр. Сохранились отрывки из сочинения Эратосфена «О древней комедии» и из двух его поэм; в одной он вкладывает в уста Гермеса рассказ о строении неба, светил и гармонии сфер, в другой передаётся легенда об Эригоне, дочери Икария.

13