Признаки делимости чисел

Признаки делимости.

Подготовил ученик 6 б класса МБОУ гимназии №3

Воробьёв Александр

Руководитель: Ефремова Ольга Николаевна.

Математика – царица наук, Арифметика – царица математике!

Деление чисел издавна считалось задачей, куда более трудной, чем умножение. Поэтому делить люди научились гораздо позже, чем умножать. Учёные – математики долго занимались поиском наиболее простого способа деления чисел. Один из них – деление «уголком», которым мы пользуемся сейчас, впервые появился в Европе в 10 веке и получил название «золотого деления». На деление уголком часто затрачивается много времени, а ведь возникают ситуации, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет.

Актуальность исследования

Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза

Если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования

Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи : Самостоятельно исследовать делимость чисел.

Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

Объединить и обобщить признаки из разных источников.

Сделать вывод.

Объект исследования – делимость натуральных чисел . Предмет исследования – признаки делимости. Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение .

Содержание

1. Первые, кто занимался признаками делимости.

2. Леонардо Пизанский .

3. Историческая справка.

4. Блэз Паскаль .

5. Закон Паскаля .

6. Признак делимости .

7. Признаки делимости от 2 до 101.

Из истории математики

Первые люди, занимающиеся признаками деления

Леонардо Пизанский

Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228) – это  один из крупнейших Европейских средневековых математиков первой величины.

Он открыл признак делимости на, 3 и 5

2

Историческая справка

Древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры уже знали признак делимости на 2.

Блез Паскаль.

Признак Паскаля — «универсальный признак делимости»:

Блез Паскаль(1623—1662)  – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7 (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Признак делимости

Признак делимости  — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

Делимость чисел определяется

по последней (им)

цифре (ам)

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

0,2,4,6,8 – чётные цифры.

1,3,5,7,9 – нечётные цифры .

8654 делится на 2, так как последняя цифра 4

Признак делимости на 4

Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

548 делится на 4,так как две последние цифры делятся на 4

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

155 делится на 5, так как последняя цифра 5

Признак делимости на 8

Число делится на 8, когда три последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.

111 120 делится на 8, так как три последние цифры  120

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

390 делится на 10, так как последняя цифра 0

Признак делимости на 20

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

0,2,4,6,8 – чётные цифры.

1,3,5,7,9 – нечётные цифры

760 делится на 20, так как последняя цифра 0, а предпоследняя чётная

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

6375 делится на 25, так как две последние цифры делятся на 25

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число заканчивается 00 или 50

87550 делится на 50, так как число заканчивается на 50

Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

Признак делимости на 3

Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

423 делится на 3, так как сумма всех цифр делится на 3

Признак делимости на 9

Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.

486 делится на 9, так как сумма всех цифр делится на 9

9 163 627 делится на 11, так как ( 9 + 6 + 6 + 7 ) – ( 1+ 3 + 2 ) = 22 делится на 11

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. 

Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7 .

154 делится на 7, так как на 7 делится 15 х 3 + 4 =49  

Признак делимости на 13

Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

104 делится на 13, так как 10+(4·4)=10+16=26 делится на 13

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда:- когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. 

221 делится на 17, так как 22 - 1 х 5 = 17 делится на 17 .

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

646 делится на 19, так как 64 + 2 х 6 = 76 делится на 19

Признак делимости на 23

  Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

28842 делится на 23, так как 288 + 3 х 42 = 414 делится на 23

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 27.

142857 делится на 27, так как 142+857 = 999 делится на 27

Признак делимости на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

  261 делится на 29, так как 26 + 3 х 1 = 29  делится на 29 .

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

217 делится на 31, так как 21 – 3 х 7 = 0 делится на 31 .

Признак делимости на 37

Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444 делится на 37

Признак делимости на 41

  Число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

369 делится на 41, так как 36 – 4 х 9 = 0 делится на 41.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

  767 делится на 59, так как 76 + 6 х 7 = 118 делятся на 59  

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

711 делится на 79, так как 71 + 8 х 1 = 79 делятся на 79 .

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). 

12573 делится на 99, так как 1 + 25 + 73 = 99 делится на 99

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. 

  590547 делится на 101, так как 59 – 5 + 47 = 101 делится на 101  

Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3.

126 делится 2, так как число делится и на 2, и на 3

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

  2304 делится на 12, так как число делится и на 3, и на 4

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

510 делится на 30 , так как число заканчивается 0 и делится на 3