Презентация "Уравнения с модулем"

Уравнения с модулем

Способы решения

0 -a, если а0, если а = 0 |a|= 2 " width="640"

Определения

• Модуль числа а – расстояние от точки с координатой а до ноля

• следствия
• 1. модуль числа неотрицателен (|a| ≥0)

а

-а

0

a, если а0

-a, если а

0, если а = 0

|a|=

2

Способы решения уравнений с модулями:

• 1. По определению модуля
• 2. Возведение обоих частей уравнения в квадрат
• 3. Замена переменной
• 4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
• 5. Замена совокупностью систем
• 6. Важный частный случай

2

1. По определению модуля

|ƒ(x)| = a (а ≥0)

f(x) = a или f(x) = - a

Пример : |3x - 8| = 5

Решение:

3x - 8 = 5 или 3x - 8 = -5;

3x = 13, 3x = 3;

x = 13/3, x = 1.

Ответ: 13/3; 1.

2

Решить по определению модуля

1) |2x - 3| = 5

решение

решение

4) |11 – 2x 2 | = 3

2) |x 2 - 4x| = 5

решение

решение

2

По определению модуля № 1

|2x - 3| = 5

Решение

2x - 3 = 5 или 2x - 3 = -5

2x = 8 2x = -2

x = 4 x = -1

Ответ: -1;4

2

По определению модуля № 2

|x 2 + 4x| = 5

Решение

x 2 + 4x = 5 или x 2 + 4x = -5

x 2 + 4x - 5 = 0

Ответ: -5;1

x 2 + 4x + 5 = 0

D = 16 - 20= -4

D

x = -5

x = 1

2

По определению модуля № 3

Решение

|5x - 1| = 4

5x - 1 = 4 или 5x - 1 = -4

5x = 5 или 5x = -3

x =1 x =-3/5 = -0,6

Ответ: -0,6; 1

2

По определению модуля

По определению модуля № 4

решение

|11 - 2x 2 | = 3

11 - 2x 2 = 3 или 11 - 2x 2 = -3

2x 2 = 8 2x 2 = 14

x = 2 или x = -2 x = 7 x = - 7

Ответ: ; -2; 2;

2

2. Возведение обеих частей в квадрат

Пример |x - 3| = |x + 2|

Решение (x - 3) 2 = (x + 2) 2 *

(x - 3) 2 - (x + 2) 2 = 0

(x - 3 + x + 2)(x - 3 - x - 2) = 0

-5∙(2x – 1) = 0, то (2x – 1) = 0

x = 1/2

Ответ:0,5

*

При возведении обоих частей в квадрат данного уравнения равносильность не нарушается, т.к. модуль всегда неотрицательный, и |а| 2 = a 2

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x - 4| = |x - 1|

|x + 5| = |2x - 5|

решение

решение

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

|x 2 + 5x +11| = |2x + 1|

решение

решение

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x - 4| = |x - 1|

(x - 4) 2 – (x - 1) 2 = 0

(x - 4 + x - 1)(x - 4 - x + 1) = 0

-3(2x - 5) = 0

2x - 5 = 0

x = 2,5

Ответ: 2,5

2

Вернуться назад

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x + 5| = |2x - 5|

(x + 5) 2 - (2x - 5) 2 = 0

(x + 5 - 2x + 5)(x + 5 + 2x - 5) = 0

(-x + 10) · 3x = 0

-3x(x - 10) = 0

Ответ: 0;10

Вернутся назад

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

(x 2 - 5x) 2 = (x 2 - x + 4) 2

(x 2 - 5x) 2 - (x 2 - x + 4) 2 = 0

(2x 2 - 6x + 4)(-4x - 4) = 0

-8(x 2 - 3x + 2)(x + 1) = 0

(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0

Ответ: -1; 1; 2

Вернуться назад

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 + 5x + 11| = |2x + 1|

(x 2 + 5x + 11) 2 = (2x + 1) 2

(x 2 + 5x +11) 2 - (2x + 1) 2 = 0

(x 2 + 7x + 12)(x 2 + 3x +10) = 0

x 2 + 7x + 12 = 0 или x 2 + 3x +10 = 0

Ответ: -4; -3.

2

3.Замена переменной

Пример: x 2 - 7|x| - 8 = 0

Решение: t = |x| условие t ≥ 0

t 2 - 7t - 8 = 0

t 1 + t 2 = 7

t 1 · t 2 = -8

t 1 = -1 не удовлетворяет условию

t 2 = 8

|x| = 8

x = 8 x = -8

Ответ: 8; -8.

2

Решить заменой переменной

x 2 – 3|x| + 2 = 0

x 2 + 3|x| = 10

решение

решение

2

Решить заменой переменной

x 2 - 3|x| + 2 = 0

Решение

Пусть t = |x| , то t ≥ 0

t 2 - 3t + 2 = 0

t = 2 или t = 1.

Тогда:

1) |x| = 2 2) |x| = 1

x = 2 или x = -2; x = 1 или x = -1.

Ответ: -2;-1;1;2

2

Решить заменой переменной

x 2 + 3|x| = 10

Решение

x 2 + 3|x| - 10 = 0

Пусть t = |x| , t ≥ 0

t 2 + 3t – 10 = 0

t = 2 или t = -5 -5

Значит ,

|x|= 2

x = 2 или x = -2

Ответ: -2; 2.

2

4.Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

• Универсальный способ

Пример: |x| + |x+1|=1

Найдем нули подмодульных выражений: 0; -1

Решение:

- - +

X

X+1

-1 0

- + +

Ответ: [-1;0].

2

Решить, используя раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

2) |x - 3| + 2|x + 1| = 4

1) |5 - x| + |x - 1| = 10

решение

3) |x - 1| + |2x - 3| = 2

решение

2

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 1

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

|5 - x| + |x - 1| = 10

- + +

x - 1

5 - x

+ 1 + 5 -

Если x ≤ 1, то

5 - x –x + 1 = 10

- 2x + 6 = 10

- 2x = 10 – 6

-2x= 4

x = -2

Если 1

5 - x + x - 1 = 10

0x + 4 = 10

0x = 10 – 4

0x= 6

нет решений

Если x ≥ 5, то

-5 + x +x - 1 = 10

2x - 6 = 10

2x = 10 + 6

2x= 16

x = 8

Ответ: - 2 ; 8

2

3, то x - 3 +2x + 2 = 4 3x - 1 = 4 3x = 4+1 3x= 5 x = 5/3 нет решений Ответ: - 1 2 " width="640"

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 2

|x - 3| + 2|x + 1| = 4

- + +

x + 1

x - 3

- -1 - 3 +

Если x ≤ -1, то

3 - x - 2x -2 = 4

- 3x + 1 = 4

- 3x = 4 – 1

-3x= 3

x = - 1

Если -1

3 – x + 2x + 2 = 4

x + 5 = 4

x = 4 – 5

x= -1

нет решений

Если x3, то

x - 3 +2x + 2 = 4

3x - 1 = 4

3x = 4+1

3x= 5

x = 5/3

нет решений

Ответ: - 1

2

1,5, то x - 1 + 2x - 3 = 2 3x - 4 = 2 3x = 2 + 4 3x= 6 x = 2 Ответ: 2/3; 2 2 " width="640"

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 3

|x - 1| + |2x - 3| = 2

- + +

x - 1

2x - 3

- 1 - 1,5 +

1. Если x ≤ 1, то

1 - x - 2x + 3 = 2

- 3x + 4 = 2

- 3x = 2 – 4

-3x= - 2

x = 2/3

2 . Если 1

x - 1 + 3 – 2x = 2

- x + 2 = 2

- x = 2 – 2

x= 0

нет решений

3 . Если x 1,5, то

x - 1 + 2x - 3 = 2

3x - 4 = 2

3x = 2 + 4

3x= 6

x = 2

Ответ: 2/3; 2

2

5.Замена совокупностью систем

|ƒ(x)| = g(х)

2

Замена совокупностью систем

Пример: |2x + 7| = 3x + 4

I способ

II способ

2

2

6. Важный частный случай

| f ( x ) | = - f ( x ), тогда f ( x ) ≤ 0

Пример: 7-4 x = |4 x -7|

Решение: т.к. |f ( x )| = -f( x ), то f( x )≤0

4 x - 7 ≤ 0

x ≤ 7/4 , 7/4 = 1,75

2

Удачи!

2