Презентация "Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей"

Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей .

Ученица 11 класса Ярмонова Оксана

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+ B) = P (A)+ P(B).

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и A равна 1:

Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Решение . Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним курсант получил оценку. В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой C = A + B . Из условия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:.

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,3 +0, 6 =0,9

Ответ: 0,9.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что школьнику достался вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – школьнику достался вопрос по теме «Параллелограмм». Т.К. вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, то события А и В несовместные. По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:.

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,2 +0,15=0,35. Ответ: 0,35.

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно.

Теорема . Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть

Р(A+ B) = P(A) - P(B) - P(AB).

Частным случаем приведенной формулы является формула сложения вероятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть невозможное событие и P(AB)= 0 .

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Р(A+ B+ C)= P( A)+ P( B)+ P( C) - P (АB) - P( AC) - P( BC) + P( ABС).

Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков – 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение. Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через В событие «второй блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в течение определенного промежутка времени». Событие С «прибор работает безотказно в течение определенного промежутка времени» является суммой событий А и В: C = A + B . Из условия задачи известны вероятности P(A) = 0,9 , P(B) = 0,8 и P(AB) = 0,75 . По формуле сложения вероятностей имеем:

Р( C)= P (A+ B)= P( A)+ P( B) - P( AB)= 0,9+ 0,8 - 0, 75= 0,95.

Ответ: 0,95

Школьнику надо сдать зачет по математике. В каждом билете – по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах – второй вопрос. Школьник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

Решение. Обозначим через А событие «школьнику достанется билет, первый вопрос которого он знает», через В событие «школьнику достанется билет, второй вопрос которого он знает», тогда событие A + B означает, что «школьник знает хотя бы один вопрос из 20». Надо определить P(AB) , где событие AB означает, что «школьник ответит на 2 вопроса билета». Событию AB благоприятствуют 20 вопросов из 25, поэтому P(A+B)= . Так как из условия задачи имеем вероятности P(A)= и P (B)= , то из формулы сложения вероятностей получаем