Презентация к уроку математики на тему "Правильные многогранники"

Понятие правильного многогранника

Подготовила: преподаватель математики ГБПОУ ВМТ

Туаева С.С.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – поверхность, составленная из шести параллелограммов.

ТЕТРАЭДР – поверхность, составленная из четырех треугольников.

S

S

В

А

С

ПРИЗМА - поверхность призмы состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней).

P

ПИРАМИДА-

поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней.

А 2

А 3

H

А 1

А n

Заполните пропуски

S=PоH - _____________ (площадь полной поверхности пирамиды)

S=1/2Pоh - __________________________________

S=Sб + 2Sо - _________________________________

S=1/2(Pо + Ро)h - ______________________________

Проверьте правильность заполнения

S = Pо H – площадь боковой поверхности призмы

S = Sб + So – площадь полной поверхности пирамиды

S = ½ Pо H – площадь боковой поверхности правильной

пирамиды

S = Sб + 2 Sо – площадь полной поверхности призмы

S=1/2(Pо + Ро)h – площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды

Критерии оценки

• Оценка «5» - все задания выполнены верно
• Оценка «4» - выполнено 4 задания
• Оценка «3» - выполнено не менее 3 заданий
• Оценка «2» - выполнено менее 3 заданий

В геометрии изучаются разные виды многогранников: пирамиды, призмы, правильные многогранники. Ни одно геометрическое тело не обладает такой красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, но весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (Л.Кэрролл)

5

Существует всего пять правильных многогранников

Из истории

• С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
• История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

Из истории

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

Из истории

• Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

Какие многогранники являются правильными?

• Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней

Другое определение:

• правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Многогранник называется правильным , если:

• он выпуклый
• все его грани являются равными правильными многоугольниками
• в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
• все его двугранные углы равны

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

5

Тетраэдр

имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре,

"эдрон" - грань

Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

5

Куб (гексаэдр)

имеет 6 граней, "гекса" - шесть

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

5

Октаэдр

восьмигранник, "окто" - восемь

Правильный икосаэдр

составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Икосаэдр

имеет 20 граней,

"икоси" - двадцать

Правильный додекаэдр

составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Додекаэдр

двенадцатигранник,

"додека" - двенадцать

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6.

5

Правильный

Тетраэдр

Число

многогранник

4

Куб

Число

граней

вершин

Октаэдр

6

Г

4

Число

Г+В - Р

Додекаэдр

6

рёбер

8

В

8

Икосаэдр

12

12

6

Р

12

20

20

30

12

30

Правильный

Тетраэдр

Число

многогранник

граней

4

Число

Куб

Октаэдр

4

6

Число

вершин

Г

Г+В - Р

Додекаэдр

рёбер

6

8

В

8

2

Икосаэдр

12

6

Р

12

20

12

2

20

2

30

12

2

30

2

Правильные многогранники в философской картине мира Платона

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь , поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду .

Куб – самая устойчивая из фигур – землю .

Октаэдр – воздух .

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Согласно философии Платона

огонь

тетраэдр

вода

икосаэдр

воздух

октаэдр

земля

гексаэдр

вселенная

додекаэдр

Правильные многогранники и природа

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр .

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO 4 ) 2 ]*12H 2 O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Феодария

(Circjgjnia icosahtdra)

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na 5 (SbO 4 (SO 4 )) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

«Тайная вечеря»

Сальвадор Дали

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре ''Меланхолия ''.

На переднем плане изобразил додекаэдр.

Творческие задания

Перерисуйте развёртку правильного тетраэдра

на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из неё тетраэдр.

Перерисуйте развёртку куба на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё куб.

Перерисуйте развёртку правильного октаэдра на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё октаэдр.

Перерисуйте развёртку правильного додекаэдра на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё додекаэдр.

Перерисуйте развёртку правильного икосаэдра на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из нее икосаэдр.

Оформление выставки многогранников