Способы решения практико-ориентированных задач часть 1

Способы решения практико-ориентированных задач

Учитель математики

МБОУ Школа № 23

Фадеева Е.Ю.

На рисунке изображена схема метро города  N . Станция Ветреная расположена между станциями Центральная и Дальняя . Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Центральная, Быстрая, Утренняя, Птичья и Весёлая . Радужная ветка включает в себя станции Быстрая, Смородиновая, Хоккейная и Звёздная . Всего в метрополитене города  N  есть три станции, от которых тоннель ведёт только в одну сторону — это станции Дальняя, Верхняя и Звёздная. Антон живёт недалеко от станции Надежда.

Метро

1.   Для станций, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Станции

Цифры

Весёлая

Ветреная

3

1

Звёздная

Птичья

7

4

Станция Ветреная расположена между станциями Центральная и Дальняя . Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Центральная, Быстрая, Утренняя, Птичья и Весёлая . Радужная ветка включает в себя станции Быстрая, Смородиновая, Хоккейная и Звёздная .

Всего в метрополитене города  N  

есть три станции, от которых

тоннель ведёт только в одну сторону — это станции Дальняя, Верхняя и Звёздная. Антон живёт недалеко от станции Надежда.

Ответ: 3174

2.   Бригада меняет рельсы на участке между станциями Надежда и Верхняя протяжённостью 12,4 км. Работы начались в понедельник. Каждый рабочий день бригада меняла по 400 метров рельсов. По субботам и воскресеньям замена рельсов не осуществлялась, но проезд был закрыт до конца всего ремонта. Сколько дней был закрыт проезд между указанными станциями?

Решение: переведем км в метры 12,4 км=12400 м. Так как бригада меняла по 400 м. рельсов в день, на замену рельсов на всём участке ушло 12400:400=31 рабочий день .

Поскольку работы велись только с понедельника по пятницам, на замену рельсов на данном участке ушло  31:5=6,2 недель .

Значит, проезд между указанными станциями был закрыт 31+6х2=43 дня.

6 умножаем на 2, так как в неделе 2 выходных дня

Ответ: 43

3. Территория, находящаяся внутри кольцевой линии, называется Центральным городским районом. Найдите его площадь  S  (в км 2 ), если длина кольцевой ветки равна 40 км. В ответе укажите значение выражения  S  · π.

Решение: Из формулы длины окружности C = 2·π·R найдем радиус окружности:

.

Площадь круга равна S = π · R². Получаем S = π · .

С учетом требований задачи: S  · π = = 400

4.   Най­ди­те рас­сто­я­ние (в км) между стан­ци­я­ми Смо­ро­ди­но­вая и Хок­кей­ная, если длина Ра­дуж­ной ветки равна 17 км, рас­сто­я­ние от Звёздной до Смо­ро­ди­но­вой равно 10 км, а от Быст­рой до Хок­кей­ной — 12 км. Все рас­сто­я­ния даны по же­лез­ной до­ро­ге.

Решение: Расстояние от Звёздной до Хоккейной равняется 17-12=5 км. Расстояние от Быстрой до Смородиновой равняется 17-10=7 км .

Значит, расстояние между станциями Смородиновая и Хоккейная равно 17-5-7=5 км.

Быстрая

Хок­кей­ная

Ответ: 400

Звёздная

12

10

Б С Х З

17

Ответ: 5

Количество поездок

1

Стоимость карточки (руб.)

Дополнительные условия

10

40

школьникам скидка 15%

30

370

школьникам скидка 10%

50

1050

школьникам скидка 10%

1600

Не ограничено

нет

2000

нет

5. Школьник Антон в среднем в месяц совершает 45

поездок в метро. Для оплаты поездок можно покупать

различные карточки. Стоимость одной поездки для

разных видов карточек различна. По истечении месяца

Антон уедет из города и неиспользованные

карточки обнуляются. Во сколько рублей

обойдётся самый дешёвый вариант?

1) Стоимость карточки 40 руб. за 1 поездку.

Со скидкой составит:

40 -(40·15%)/100%=40-6=34 руб.

(за 45 поездок составит: 45·34=1530 руб.)

2) Стоимость 10 карточек 370 руб. Со скидкой

составит: 370 -(370·10%)/100%=370-37=333 руб.

(только за 40 поездок составит: 4·333=1332 руб.;

дополнительно 5 карточек из 1-го варианта составит: 5·34=170 руб. Итого: 1332+170=1502 руб.).

3) Стоимость 30 карточек 1050 руб. Со скидкой составит:

1050 -(1050·10%)/100%=1050-105=945 руб . (только за 30 поездок составит: 945 руб.; дополнительно 10 карточек из 2-го варианта и 5 карточек из 1-го варианта составит: 333+34·5=333+170=503 руб. Итого: 945+503=1448 руб .).

4) Стоимость 50 карточек 1600 руб. Из предыдущих расчетов этот вариант не подходит.

5) Стоимость карточек без ограничений, то есть за 45 карточек придется заплатить 2000 руб. Этот вариант, как и предыдущий, не подходит.

Ответ: 1448

Кемпинг

Андрей и его друзья собираются поехать в отпуск на две недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на рисунке. Они планируют на велосипедах добраться от города Гранюк до кемпинга , обозначенного на рисунке цифрой 7, за 4 дня , а потом поставить там палатки и отдыхать в море. Друзья собираются выехать рано утром и в первый день добраться до хутора Южный , где живёт бабушка Андрея. Там есть озеро , в котором можно купаться и ловить рыбу, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до посёлка Быково и заночевать там в мини ‐ отеле . На следующий день они собираются проехать 24 км до города Гусевск вдоль степного заказника и переночевать в одной из гостиниц . Заказник обозначен на рисунке цифрой 8. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Прямой путь короче, но там в эти дни идёт ремонт дороги, и пока неизвестно, где можно будет проехать быстрее.

Ответ: 1465

1.  Для объ­ек­тов, ука­зан­ных в таб­ли­це, опре­де­ли­те, ка­ки­ми циф­ра­ми они обо­зна­че­ны на ри­сун­ке. За­пол­ни­те таб­ли­цу, в ответ за­пи­ши­те по­сле­до­ва­тель­ность четырёх цифр.

Объ­ек­ты

Цифры

Город Гра­нюк

Де­рев­ня Аст­рел­ка

1

Хутор Южный

4

Город Гу­севск

6

5

2.  Ре­бя­та ре­ши­ли, что нужно взять в по­езд­ку чай в па­ке­ти­ках опре­делённого сорта. Ок­са­не по­ру­чи­ли ку­пить чай на всех. Сколь­ко пачек чая долж­на ку­пить Ок­са­на, если в ком­па­нии 8 че­ло­век, в день они вы­пи­ва­ют в сред­нем 3 па­ке­ти­ка на од­но­го че­ло­ве­ка и по­езд­ка про­длит­ся две не­де­ли? В каж­дой пачке 25 па­ке­ти­ков чая.

Решение: Всего нужно купить 8х3х14=336 пакетиков. Всего нужно пакетиков: 336:25=13,44 . Округляем в большую сторону, т.е. 14.

3.  Най­ди­те пло­щадь (в км 2 ), ко­то­рую за­ни­ма­ет за­каз­ник.

Решение: Размер каждой клетки равен 3 км. Поэтому

После подсчета количества клеток, умножаем это число

на 3. Разделим фигуру на 2 части. Первая часть –

прямоугольник, длина которого равна 15 км, а ширина

18 км. Получаем площадь прямоугольника 15х18=270

Вторая фигура – треугольник, основание которого равно

18 км, а высота 9 км. Тогда к. Складываем полученные площади. Итого 81+270=351 к

Ответ: 14

Ответ: 351

4 .  Все могут пойти в от­пуск с 15 июля, кроме Гри­го­рия и Марии, ко­то­рым в этот день нужно ра­бо­тать. Они го­то­вы вы­ехать 16 июля и до­гнать осталь­ную груп­пу в посёлке Бы­ко­во, не за­ез­жая на хутор Южный. Най­ди­те рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­едут Гри­го­рий и Мария от го­ро­да Гра­нюк до Бы­ко­во. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Решение: поселок Быково на плане изображен цифрой 2.

Нужно найти расстояние между пунктами 1 и 2, для этого

опустим перпендикуляр из 1 к стороне 2-6. Получаем

прямоугольный треугольник. Один катет равен 6х3=18,

второй 8х3=24. Тогда расстояние найдем по Т.Пифагора:

. Извлекая корень,

Получаем

Считаем, что размер каждой клетки 3 км.

Ответ: 30

Про­дук­ция

Под­свет­ка для спиц

Цена в ма­га­зи­не «Вело» (руб.)

Шина вида «А»

Цена в ма­га­зи­не «ОК» (руб.)

190

680

Срок до­став­ки из ма­га­зи­на «ОК» (дни)

180

Шина вида «Б»

Спица

1680

650

3

Ан­дрея не устра­и­ва­ет срок до­став­ки де­та­лей из ин­тер­нет‐ма­га­зи­на, и он решил при­об­ре­сти де­та­ли в ма­га­зи­не «Вело». Он готов по­тра­тить на ре­монт не более 6000 руб­лей и при этом хочет ку­пить самый до­ро­гой набор для ре­мон­та ве­ло­си­пе­да, ко­то­рый может себе поз­во­лить. Ему нужно ку­пить 5 спиц, 2 шины (од­но­го вида), 2 пе­да­ли (од­но­го вида), тор­моз (лю­бо­го вида) и набор крепёжных из­де­лий . Сколь­ко руб­лей Ан­дрей по­тра­тит на набор за­пас­ных ча­стей ?

Пе­даль вида «А»

12

1450

70

Пе­даль вида «Б»

437

80

12

Тор­моз вида «А»

405

860

3

Тор­моз вида «Б»

750

1130

10

Набор крепёжных из­де­лий

нет

нет

10

2180

740

10

765

10

14

5 . Ан­дрей вы­яс­нил, что его ве­ло­си­пед пришёл в не­ра­бо­чее со­сто­я­ние. Ан­дрей по­се­тил сайты ин­тер­нет‐ма­ги­зи­на «ОК» и ма­га­зи­на «Вело», рас­по­ло­жен­но­го в со­сед­нем доме, чтобы узнать не­ко­то­рые цены. В этих ма­га­зи­нах можно ку­пить го­то­вый ве­ло­си­пед либо за­пас­ные части. Цены на про­дук­цию ма­га­зи­нов и срок до­став­ки из ин­тер­нет‐ма­га­зи­на даны в таб­ли­це.

Решение: На спицы Андрей

потратит 70 · 5 = 350 руб.

Далее, Андрей должен купить две

шины вида «А», поскольку, если

он купит две шины вида «Б», ему

не хватит денег на остальные запчасти. Значит, на шины он потратит 680 · 2 = 1360 руб . Поскольку Андрей хочет купить самый дорогой набор для ремонта велосипеда, из двух видов педалей он может купить педали вида «Б», они будут стоить 860 · 2 = 1720 руб. Ему останется купить тормоз и набор крепёжных изделий. Таким образом, всего Андрей потратит: 350+1360+1720+1130+740=5300 руб.

Ответ: 5300

Деревни

Коля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Марьевке. Коля с дедушкой собираются съездить на велосипедах в село Сосновое на железнодорожную станцию. Из Марьевки в Сосновое можно проехать по прямой лесной дорожке . Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Николаевку до деревни Запрудье, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Сосновое. Есть и третий маршрут: в Николаевке можно свернуть на прямую тропинку, которая идёт мимо озера прямо в Сосновое.

По шоссе Коля с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке 15 км/ч. Расстояние по шоссе от Марьевки до Николаевки равно 12 км, от Марьевки ДО Запрудья – 20 км, а от Запрудья до Соснового 15 км.

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.

Насел. пункты

Цифры

с. Сосновое

  2

д. Запрудье

д. Марьевка

  1

д. Николаевка

  4

  3

Ответ: 2143

2. На сколько процентов скорость, с которой едут Коля с дедушкой по тропинке, меньше их скорости по шоссе?

Решение: скорость по тропике 15 км/ч, скорость по шоссе 20 км/ч. Составим пропорцию:

20 км/ч – 100 %

15 км/ч = х %.

Найдем разность 100%-75%=25%.

3 . Сколько минут затратят на дорогу Коля с дедушкой,

если поедут на станцию через Запрудье?

Решение: Путь через станцию Запрудье составляет

S=20+15=35 км, а их скорость v=20 км/ч. Значит, они

затратят на весь путь

t= часа.

1,75х60=105 минут.

Ответ: 2143

15

20

12

Ответ: 105

4. Найдите расстояние от д. Николаевка до с. Сосновое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение: Ищем путь от 3 до 2. Прямая дорога –

это гипотенуза прямоугольного треугольника

с катетами км и 15 км. По теореме

Пифагора получаем

км.

5. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Коля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Решение. В задании 3 нашли время, если они поедут через Запрудье (105 мин)

2) по прямой из Марьевки в Сосновое (из 4-2): при скорости 15 км/ч, получаем t= минут

3) Путь мимо озера. Сначала, из Марьевки до Николаевки, путь равен 12 км, скорость 20 км/ч, получаем t=

и по прямой до Соснового, путь равен 17 км (найден в 4 номере), а скорость равна 15 км/ч, получаем t=

Итого общее время мимо озера 68+36=104 минуты. Наименьшее время равно 100 минут.

15

8

Ответ: 17

Ответ: 100

Вертолетная площадка

На плане (см. рис. ниже) изображена вертолетная взлетно-посадочная площадка, которую требуется построить. Сначала будет строиться квадратная площадка размером 20 х 20 м , а затем к ней будут пристраиваться 4 одинаковые прямоугольные площадки 20х14 м так, как показано на плане. Точками отмечается внешний периметр площадки. Заказчик планирует покрыть всю площадку специальным материалом одной из двух фирм: «Оптимист» или «Ореол».

1. В нижней строке таблицы укажите нижний индекс точек, симметричных соответствующих точкам, указанным в верхней строке таблицы, относительно центра симметрии площадки.

1

7

9

11

Заполните таблицы. В ответе запишите последовательность цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 79111

2. Для 1 площадки планируется использовать 4 кг покрытия. Какое наименьшее число банок покрытия понадобится для всей площадки, если оно будет приобретаться банками по 15 кг?

Решение: необходимо найти площадь всей площадки. В центре расположена квадратная площадка размером 20 х 20 м, тогда ее площадь S=

По краям есть 4 одинаковые прямоугольные площадки 20х14 м, их площади

В итоге общая площадь .

Найдем сколько нужно покрытия 1520х4=6080 кг.

Найдем количество банок : 6080:15=405,33. Округляем в большую степень 406.

3. Найти периметр вертолетной площадки. Ответ дайте в метрах.

Решение: из рисунке находим 8 сторон по 14 м и 4 стороны по 20 м.

Периметр м.

4. Найдите наибольшее расстояние между произвольными точками внешнего периметра площадки. Ответ дайте в метрах.

Решение: наибольшее расстояние будем искать между т.А1 и А7. Это расстояние- гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами м и 20м. По т. Пифагора получаем

.

Извлекаем корень м

Ответ: 406

Ответ: 192

Ответ: 52

5. Стоимость покрытия, стоимость работ по его изменению и расходы на эксплуатацию указаны в таблице ниже.

Заказчик решил закупить покрытие у фирмы «Ореол». Через сколько лет экономия от уменьшения стоимости эксплуатации этого покрытия компенсирует разность в стоимости покрытия и его нанесения по сравнению с вариантом от фирмы «Оптимист».

Решение: Стоимость покрытия и его нанесения от «Оптимиста»

Стоимость покрытия и его нанесения от «Ореола»

Разница в стоимости

Разница в стоимости эксплуатации :

Экономия компенсирует разность только

Ответ: 6