Прямая и плоскость в пространстве

Изучение темы «Прямая и плоскость в пространстве» в классах с углубленным изучением математики.

Тема «Прямая и плоскость в пространстве» изучается учащимися в 10-11 классах, и они впервые узнают о таких понятиях, теоремах и леммах как: определение перпендикулярности прямой к плоскости; лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей и др. В процессе изучения темы систематизируются и обобщаются знания учащихся по изученным ранее темам «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве», «Углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми». Понятие перпендикулярности в пространстве является ключевым при изучении последующих тем «Многогранники», «Объемы тел», «Изображение пространственных фигур», поэтому от того, как учащиеся усвоили данную тему, будет зависеть успешность дальнейшего изучения материала.

схема логического строения геометрии

Эффективность обучения геометрии в значительной степени зависит от правильной организации деятельности учащихся по решению геометриче-ских задач. Успешность этой деятельности обусловлена тем набором задач и порядком их предъявления, которые выбраны для ее реализации.

Важную роль играет системность в подборе упражнений. Упражнения необходимо располагать по нарастанию сложности. Содержание задач долж-но носить комплексный характер: решая задачи, ученики должны не только закреплять вновь изученный материал, но и повторять ранее пройденный .

Последовательность в обучении геометрии означает, что при этом со-блюдаются дидактические принципы:

а) от простого к сложному;

б) от представлений к понятиям;

в) от известного к неизвестному;

г) от знания к умению, а от него - к навыку.

Учитель реализует эти принципы, если обучение геометрии представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых дополняет известные учащимся знания и умения разумной дозой новых знаний и умений, которые, в свою очередь, становятся инструментом для приобретения школьниками новых знаний и умений.

Данный материал представлен в виде схемы (схема 1).

Прямая в пространстве

Способы задания

Прямой в пространстве

Метрические задачи Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Взаимное расположение прямых в пространстве

Уравнение прямой, проходящие через две заданные точки

Каноническое уравнение прямой в пространстве, параметрическое уравнение прямой в пространстве

Через точку и направляющий вектор

Плоскость в пространстве

Способы задания плоскости

Через точку и нормальный вектор

уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости через три точки

Угол между плоскостями

Взаимное расположение двух плоскостей

Метрические задачи

Общее уравнение прямой

Даны задания для самостоятельной работы в виде рабочей тетради.

Ребята могут выбрать уровень сложности и прорешать задания из учебников .

Задание 1. Расставить стрелки между условиями и выполнить чертеж.

Имеют одну общую точку

Две пересекающиеся

прямые

Не имеют общих точек

Две параллельные прямые

Лежат в одной плоскости

Две скрещивающиеся прямые

Не дежат в одной плоскости

Задание 2: В прямоугольной системе координат Охyz заданы точки А(6;-5;1)В(3;-3;-1)С(4;0;3)О(0,0,0),являющиеся вершинами треугольной пирамиды ОАВС. Таблица 3.

Задание 1: (базовый уровень)

Написать уравнения прямой

Решение.

1. Найдем направляющий вектор данной прямой

= (…………)

2. Чтобы написать уравнения прямой крайне важно еще найти …………… на этой прямой. В качестве такой точки А(x₀, y₀, z₀) возьмем, у которой z₀ = 0, т. е. А(x₀, y₀, 0). Тогда ее координаты x₀ и y₀ обязаны удовлетворять уравнениям:

⇒⇒⇒ ⇒ ⇒

3. Следовательно, точка А(……….) принадлежит заданной прямой. Теперь напишем уравнения этой прямой:

Задание 2 (повышенный уровень)  

Рис. 2

В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3),B(3;0;2),C(7;4;6)треугольника .Требуется:составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника.

Решение

1. Сначала составим каноническое уравнение прямой AL

Для этого нужно найти ………… вектор  этой прямой.

2. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, , где   — единичные векторы, одинаково направленные с векторами  соответственно.

Находим :

3.Составляем каноническое уравнение прямой 

AL:

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:

⇒

Задания для самостоятельной работы: Е.В. Потоскуев глава 2

Задание 3 (базовый уровень)

Составить канонические уравнения прямой по точке   и направляющему вектору  

Решение:

1.Пусть -направляющий вектор прямой L

2. точка, ……… на этой прямой.

3. Возьмем ……… точку .Следовательно :

4.Координаты вектора () и вектора пропорциональны.(векторы ………)

5. Необходимые и достаточные условия коллиниарности

() и :, где …. это некоторое действительное число.

ответ………….

Задание 4:(повышенный уровень)

Составить каноническое уравнение прямой:   .

Рис. 4

Решение:

1). Для решения задачи необходимо вспомнить, что для записи канонического уравнения прямой необходимо иметь …………………….,
через которую проходит прямая, и …………….. вектор этой прямой.

2). Так как векторы нормалей плоскостей, уравнения которых представлены в системе, не параллельны:   = (……) и   = (……), то плоскости пересекаются, а значит, система имеет ……... решение. Если принять: z =0, то из системы легко находим решение:(…....) .Если принять: z =4, то из системы легко находим решение: (…..)  .

3). Определим направляющий вектор прямой l :   =   =(2,7,4). Запишем каноническое уравнение прямой l :   .

Ответ: уравнение прямой l : ……………….  .

Задания для самостоятельной работы:

Учебники :

1.П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова «Высшая математика В упражнениях и задачах» № 327,328.

2.Г.Л.Луканкин.Н.Н.Мартынов.Г.А.Шадрин.Г.Н.Яковлев.«Высшая математика» стр 89 № 1,2,3,4,5,6.

Задания 5: (базовый уровень)

Составить параметрическое уравнение прямой.

Решение

1.Направляющий вектор прямой

2.Точка лежащая на прямой

3.Пусть М произвольная точка прямой с координатами М(

4.Координаты вектора

⇔⇔

Задание 6 (повышенный уровень)

Составить параметрическое уравнение медианы проведенный из вершины А треугольника АВС координаты вершин заданы

Решение.

1.На медиане АМ задана точка А.

2.Направляющим вектором для нее может являться вектор

3.Вычислим координаты вектора (из конца вычесть начало)

и и

4.Подставим в параметрическое уравнение прямой в место m,n,p. координаты вектора .Вместо координаты точки ....

5 Получим данное уравнение

Задания для самостоятельной работы:

1.П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова «Высшая математика В упражнениях и задачах» № 334-338

2.Г.Л.Луканкин.Н.Н.Мартынов.Г.А.Шадрин.Г.Н.Яковлев.«Высшая математика» стр 90 номер 3-10

Задание 7 (базовый уровень)

Найти уравнение прямой, проходящей через точки  

Решение:

1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку  , тогда направляющий вектор имеет координаты   = =

2) Тогда уравнение прямой запишется так  .

Задание 8 (повышенный уровень)

Составить уравнение прямой,проходящую через точку и пересекающую ось под прямым углом.

Решение:

1.Так как прямая перпендикулярна оси и пересекает ее ,то она проходит через точку

2.Составим уравнение прямой ,проходящей через точки M и N

Найдем координаты направляющего вектора

  = = =

3.Уравнение прямой имеет вид  .

Задания для самостоятельной работы: Е.В Потоскуев глава 2,А.А Погорелов параграфф 15 задания 1-20

Метрические задачи 9:

Составить уравнение прямой ,проходящей через точку и параллельно вектору

Решение:

1.Воспользуемся каноническим уравнением прямой

 .Направляющий вектор m=… ,n=…,p= …

2 .Координаты

3.-ю Данное уравнение имеет вид . 

Задание 10:(базовый уровень)

Вычислить угол между прямыми

и

Решение:

1.Направляющий вектор первой прямой является

2.Вторая прямая задана системой плоскостей. Направляющий вектор второй прямой находим через ……… ……….. ,где нормальный вектор первой плоскости ,нормальный вектор второй прямой

= ()=()

3.Из этого следует ,что

4. , , то угол

Задание 11:

Найти угол между прямыми

Решение:

1.Для первой прямой ………… вектор имеет координаты

2.Для второй прямой …………. вектор имеет координаты

3. Чтобы найти угол между этими прямыми, воспользуемся соотношением (…………)

Из этого следует ᵠ =

Задание 12 (повышенный уровень)

Рассмотреть пересекаются ли прямые :

Решение:

1.Пусть прямые заданы своими …………….. уравнениями

2.Представим ……………. векторы расположенными на этих прямых .

И вектор копланарны то рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости и обратно.

3.Необходимым и достаточным условием компланарности векторов

, является ……………… произведение равно …………...

4.Рассмотрим определитель

= …

5.Если рассматриваемые прямые удовлетворяют условию ,то они либо ……….. ,либо ……………. В противном случае ………….. Таким образом данные прямые лежат в одной плоскости.Поскольку координаты векторов не пропорциональны ,эти прямые ………...

Самостоятельные номера задач :А.В.Погорелов параграф 16-17 задачи прилагаются к параграфам. Е.В.Потоскуев параграф 2-3.

1.8.Взаимное расположение прямых в пространстве

Таблица 2.

В данной главе рассмотрены способы задания прямой в пространстве. На основе изложенного материала приведены практические задания которые можно использовать для закрепления материала для учеников в средней школе.