Презентация "Уравнения с параметром. Системы уравнений с параметром"

Уравнения с параметром. Системы уравнений с параметром

Уравнения с параметром

Слово « параметр » происходит от греческого слова parametron – отмеривающий.

Уравнения, в записи которых, кроме неизвестного, есть буква, обозначающая число, называют уравнениями с параметром .

( а – 1)х + 4 = а + 1, где а – параметр;

х 2 + 4( с – 1)х + с 2 = 0, где с – параметр.

Решение уравнения с параметром

Решить уравнение с параметром – это значит указать значение параметра, при которых уравнение имеет корни, и для этих значений параметра найти корни уравнения, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.

( Решить уравнение с параметром – это значит решить данное уравнение при каждом значении параметра)

Пример 1

Решить уравнение с неизвестным х

(а – 3)х + 4 = а + 1 .

Решение. (а – 3)х = а – 3;

• Если а ≠ 3 , то уравнение имеет единственный

корень х = , т.е. х = 1 .

• Если а = 3 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .

Ответ: х = 1 , при а ≠ 3 ;

х - любое число при а = 3 .

а – 3

а - 3

Пример 2

Решить уравнение с неизвестным х: с 2 х – с = 4х + 2 .

Решение. с 2 х – с = 4х + 2, с 2 х - 4х = с + 2, (с 2 – 4)х = с + 2

• Если с 2 – 4 ≠ 0, т.е . с ≠ -2 и с ≠ 2 , то х = .
• Если с 2 – 4 = 0, т.е. с = -2 и с = 2 .

Когда с = -2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .

Когда с = 2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 4, нет корней .

Ответ : х = , при с ≠ -2 и с ≠ 2 ;

х – любое число , при с ≠ -2 ;

нет корней , при с ≠ -2 .

1

с – 2

1

с - 2

Пример 3

При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 4(а – 1)х + а 2 = 0

имеет единственное решение?

Решение . Квадратное уравнение имеет

единственное решение при D = 0 .

Тогда D = 4(а 2 – 2а + 1) – 4а 2 = -8а + 4 .

-8а + 4 = 0 ,

а = 0,5 .

Ответ : при а = 0,5 .

0, т.е. а , то . Когда D = 0, т.е. а = , то . Когда D т.е. а , то корней нет . 1 8 1 8 1 8 " width="640"

Пример 4

Решить уравнение с параметром а:

ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .

Решение. ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .

• Если а = 0 , то уравнение имеет вид

0х 2 - х = 0, х =0 .

• Если а ≠ 0 , то решение зависит от значения

дискриминанта D = -8a + 1.

Когда D 0, т.е. а , то .

Когда D = 0, т.е. а = , то .

Когда D т.е. а , то корней нет .

1

8

1

8

1

8

∩

Пример 4

Ответ:

ри а (-∞; 0) (0; ) ;

х = 0 при а = 0 ;

при а = ;

нет корней при а ( ; + ∞) .

1

8

1

8

1

8

Системы уравнений с параметром

Системы уравнений, в записи которых, кроме неизвестного, есть буквы, обозначающие числа, называют системами уравнений с параметром .

2х – у = 3, ( а + 1)х + а у = 4 а + 1,

а х + 4у = 1; ( а – 3)х + (3 а – 4)у = а – 6.

Решение систем уравнений с параметром

Решить систему уравнений с параметром – это значит указать значение параметра, при которых система уравнений имеет решения, и для этих значений параметра найти решения системы, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.

( Решить систему уравнений с параметром – это значит решить данную систему уравнений при каждом значении параметра)

Пример 1

Решить систему уравнений с параметром р :

рх + у = 3,

2х + (2р – 3)у = 1.

Решение . Решаем систему методом подстановки.

у = 3 - рх,

2х + (2р – 3)(3 – рх) = 1.

Пусть -2р 2 + 3р + 2 = 0 , тогда р = -0,5 или р = 2 .

Когда р = -0,5 , то линейное уравнение имеет вид

0 ∙ х – 13 = 0 , нет корней .

Следовательно нет решений и у системы.

Когда р = 0,5 , то линейное уравнение имеет вид

0 ∙ х + 2 = 0 , нет корней .

Следовательно также нет решений у системы.

(-2р 2 + 3р + 2)х + 6р – 10 = 0 .

Когда р ≠ -0,5 и р ≠ 2 , то линейное уравнение имеет

один корень

Из первого уравнения системы у = 3 – рх находим

Ответ: ; при р ≠ -0,5 и р ≠ 2 ;

система не имеет решений при р = -0,5 и р = 2 .