Презентация "Сечение. Секущая плоскость"

• Тема : Секущая плоскость. Сечение

Основные понятия

• Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.

• Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

Рис.1

Рис.2

• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

Рис.3

• Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости).
• Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).
• Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости .

ПРИМЕЧАНИЕ . Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!

Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.

Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости.

D 1

C 1

K

B 1

A 1

N

D

C

M

A

B

Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е.

E

D 1

C 1

K

B 1

A 1

N

D

C

M

A

B

Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F  D 1 C 1 , EK.

E

F

D 1

C 1

K

B 1

A 1

N

D

C

M

A

B

Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G.

E

F

D 1

C 1

K

G

B 1

A 1

N

D

C

M

A

B

Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»!

Причем, GM ∩АА 1 =Н

E

F

D 1

C 1

K

G

B 1

A 1

N

H

D

C

M

A

B

Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба.

E

F

D 1

C 1

K

G

B 1

A 1

N

H

D

C

M

A

B

Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.

Рассмотрим теперь более сложные примеры

N

M

K

ПРИМЕР 2.

Помним о том, что вершина пирамиды – общая точка для всех боковых граней!

N

K

M

ПРИМЕР 3.

K

N

M

ПРИМЕР 4.

Заключение

• Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».