Просмотр содержимого документа
«Презентация по теме "Степенные функции"»
Урок алгебры в 11 классе
Степенные функции,
их свойства и графики.
Заголовок слайда
Функция вида у = х r (где r - любое действительное число (в том числе и иррациональное)) называют
степенными функциями .
Если r - натуральное число ( r = n ), то получаем функцию y = x n .
n=1
n=2
n=3
у = х
у = х 2
у = х 3
y
у = х 2
у = х 4
у = х 6
- 1 0 1 2
x
y
у = х 3
у = х 5
у = х 7
- 1 0 1 2
x
Если r = -n , то получаем степенную функцию y = x -n или
n - чётное
n - нечётное
у = х -3
у = х -2
y
у = х -2
у = х -4
у = х -6
- 1 0 1 2
x
y
у = х -1
у = х -3
у = х -5
- 1 0 1 2
x
При r = 0 имеем функцию y = x 0 или у = 1
(где х ≠ 0). Графиком такой функции является горизонтальная прямая у = 1 с выколотой точкой
х = 0
1
Рассмотрим теперь степенные функции
С рациональными показателями степени.
Их свойства и графики существенно зависят от показателя степени.
1
Свойства функции:
- Область определения D(f) = [0; +∞).
- Определённой чётности не имеет.
- Возрастает на промежутке [0; +∞).
- Ограничена снизу и не ограничена сверху.
- Наименьшее значение у наим = 0, наибольшего значения не имеет.
- Непрерывна.
- Область значений Е(f) = [0; +∞).
- Выпукла вниз.
1
y
у = х 2,5
у = х 3,1
у = х 1,5
- 1 0 1 2
x
1
Свойства функции:
- Область определения D(f) = [0; +∞).
- Определённой чётности не имеет.
- Возрастает на промежутке [0; +∞).
- Ограничена снизу и не ограничена сверху.
- Наименьшее значение у наим = 0, наибольшего значения не имеет.
- Непрерывна.
- Область значений Е(f) = [0; +∞).
- Выпукла вверх.
1
y
у = х 0,84
у = х 0,7
у = х 0,5
- 1 0 1 2
x
1
Свойства функции:
- Область определения D(f) = (0; +∞).
- Определённой чётности не имеет.
- Возрастает на промежутке (0; +∞).
- Ограничена снизу и не ограничена сверху.
- Наименьшего и наибольшего значений не имеет.
- Непрерывна.
- Область значений Е(f) = (0; +∞).
- Выпукла вниз.
1
y
у = х -2,3
у = х -3,8
у = х -1,3
у = х -0,3
- 1 0 1 2
x
0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле " width="640"
Теорема.
Если х0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле
Найдём производную функции:
Пример 1.
При этом было использовано правило дифференцирования
0 . Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1 . 3. Очевидно, что при х (0;1] , значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум " width="640"
э
э
Исследуем функцию
На монотонность и экстремумы и
построим её график.
Пример 2.
1. Найдём производную функции:
2. Функция существует при х ≥ 0 , производная существует при х0 . Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1 .
3. Очевидно, что при х (0;1] , значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум
4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения или , откуда
х=0 или х=3 .
5. Построим график функции у(х) .
1
3
Напишем уравнение касательной к графику функции в точке а = 1 .
Пример 3.
Напомним общий вид уравнения касательной: y = f(a) + f ‘ (a)(x-a)
1. Найдём значение функции:
2. Найдём производную функции:
и её значение .
3. Подставим значения f(a), f ' (a) и а в уравнение касательной и получим:
Контрольные вопросы:
1. Определение степенной функции у = х r .
2. Свойства функции и её график для:
3. Производная степенной функции.
Источники:
Шаблон презентации:
http://school-box.ru/raznoe/vse-dlya-prezentazii/1486-shablony-dlya-prezentaziy-powerpoint-21.html
Эмблема СУПа:
http://dg54.mycdn.me/getImage?photoId=582860090169&photoType=6
• Мордкович А.Г. - учебник-Алгебра и начала математического анализа(10-11, ч.1, баз.ур.)-2014
• Мордкович А.Г. - задачник-Алгебра и начала математического анализа (10-11 кл., ч.2, баз.ур.) -2014