Презентация по теме "Параллельные прямые"

В Европе XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и, как следствие, серия изобретений, среди которых - создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. Возникла необходимость теоретического и научного изучения движения, изменения вообще.

Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Коперника и И. Кеплера, позволили по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Законы небесной механики дали возможность дополнить законы Земли.

И. Кеплер практически всю свою жизнь посвятил изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения планет, носящие его имя, среди которых закон, связанный с площадью сектора.

Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этих знаний недоставало и для решения других задач практического характера. Круг, в представлении Кеплера, состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а шар - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. Книга ученого «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) произвела большое впечатление на читателей, так как в ней был описан доступный метод определения объема 93 различных тел вращения (бочек).

Каждому из них он дал оригинальное название: лимон, груша, чалма и т. п. Кеплер заменял неизвестный объем известным путем деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из них нового тела (быть может, путем деформации), объем которого можно найти. Доказательства были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Как видим, Кеплер получил новый результат весьма простым приемом. «Стереометрия винных бочек» - первая работа того времени, вводящая в геометрию бесконечно малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во введении к этой книге, поводом и целью написания труда первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек с помощью одного промера их поперечной длины. Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.

Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга.

Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды. Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому.

Видный советский ученый, историк математики, профессор Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876—1952), которому принадле­жит самый совершенный русский перевод «Начал» Евклида с обстоятельными комментариями, дал интересный вывод формулы объема шара на основе принципа Кавальери.

Вот это доказательство.

Поместим между двумя парал­лельными плоскостями полусферу АВС и цилиндр A ' B ' C ' D ' (рис. 6) с основанием того же радиуса R , что и шар, и с высо­той, равной радиусу, с входящим в него конусом C ' D ' O ', который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а вершиной — центр нижнего основания.

На основании принципа Кавальери мы вправе сделать за­ключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезыванием конуса из цилиндра. В самом деле, легко видеть, что круг ab , полученный в сечении сферы плоскостью , равновелик с кольцом a ' c ' d ' b ' , получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью. Действительно, на основании теоремы Пифагора в полусфере

где, и, следовательно, площадь сечения ab равна с другой стороны, площадь круга а' b ' а так как, очевидно, радиус круга c ' d ' равен k , то площадь круга c ' d ‘ Следовательно, площадь кольца a ' c ' d ' b ' равна Замечая далее, что объем цилиндра равен , а объем конуса ,мы получаем для объема полусферы величину ,а для объема всей сферы

Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера.

Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.

Понятие об интеграле.

Пусть линия MN дана уравнением

и надо найти площадь «криволинейной трапеции» aABb . Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру

показанную штриховкой на рис. Её площадь равна

Если ввести обозначения то формула 1 имеет вид Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n . Лейбниц ввел для этого предела обозначение

в котором (курсивное s ) — начальная буква слова summa (сумма), а вы­ражение у dx указывает типичную форму отдельных слагаемых

Выражение Лейбниц стал называть интегралом — от латин­ского слова integralis — целостный») Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, придав ему вид Здесь явно указаны начальное и конечное значения x . Теперь понятно, что интеграл используется для того, чтобы освободить нас от некоторых громоздких вычислений (порой, как в данном примере, весьма и весьма однообразных, а также требующих огромного внимания, т.к. даже малейшая неточность может повлечь за собой существенные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду других причин, углубляться в которые сейчас нет никакого смысла.

Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа.

Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями и (рис. 8). Вве­дем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикуляр­на к плоскостям и , и обозначим буквами а и b абсциссы точек пересечения

оси Ох с этими плоскостями (а b ). Будем счи­тать, что тело таково, что его сечение Ф(х) плоскостью, прохо­дящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого (при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, (при х=а ).

Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и предположим, что S (х) — непрерыв­ная функция на числовом отрезке [а; b ]. Разобьем числовой отрезок [а; b ] на п равных отрезков точками и через точки с абсциссами проведем плоскости,

перпендикулярные к оси Ох . Эти плоскости разбивают тело Т на п тел

Если сечение — круг, то объем тела (заштрихованного на рисунке) приближенно равен объему цилиндра с основанием и высотой

Если — многоугольник, то объем тела Т приближенно равен объему прямой призмы с основанием и высотой И в том и в другом случае объем тела приближенно равен а объем V всего тела T можно при­ближенно вычислить по формуле Приближенное значение V объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше Примем без доказательства, что равен объему тела, т.е. С другой стороны, сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной функции S (х) на числовом отрезке [а; b ] , поэтому Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла:

Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел.

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема. Объём шара радиуса R равен.

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r , а его площадь через S (х), где х — абсцисса точки М. Выразим S (х) через х и R . Из прямоугольного треугольника ОМС находим: Так как

то Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. Для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при

получим

Шаровым сегментом называется часть шара, отсе­ченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разби­вает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии h=R-x от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен раз­ности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен x=R-h , то получаем для объема сегмента = Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой

Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h : Заменим здесь h через 2 R - h 1:

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.

Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара. Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты R - h . Шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Ее радиус равен

Плоскость этой окружности и разбивает сектор на две указанные части. Для объёма сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объёмы сегмента и конуса: Если - угол между осью и образующей конуса, то и формула для объёма сектора примет вид

Здесь даётся очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интегрального исчисления. Итак, пусть дан неко­торый шар радиуса R . Выделим на его поверхности какую-либо малую область и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О , имеющие эту область своим осно­ванием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое.

Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, на пример, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере). Тогда, обозначая через площадь этого участка—основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети высоты на площадь основания (высотой служит радиус шара):

Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара—на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой где последняя сумма равна полной поверхности шара: Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу или Последний результат формулируется так:

Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.

Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. Сферическую поверхность, или «шапочки»). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:

откуда находим для площади «шапочки» формулу

Шаровым поясом называют сферическую поверхность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сферических шапочек:

или где h —высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.