Презентация по теме " Параллельность прямых и плоскостей"

Параллельность

прямых и плоскостей

Аксиомы стереометрии

A1

A3

B

A



C



l

L



A2

B

A



Следствия из аксиом

Следствие 2

Следствие 1

A

b





а

Способы задания плоскостей

a

В

С

А

b





А

a

b



a



Задание 1 :

определите, сколько плоскостей

можно провести через выделенные элементы?

1)

2)

3)

5)

4)

6)

Взаимное расположение прямых

2. Пересекаются

1. Совпадают



а

а

b

М

b

4. Не пересекаются,

лежат в разных плоскостях

а  b=M

3. Не пересекаются,

лежат в одной плоскости

а



а

b

b





a  b

Признаки!

аи b скрещивающиеся

Признак!

Задание 2 :

выясните взаимное расположение прямых

( основания – трапеции, боковые грани – параллелограммы)

А 1

ВС и ДС

АВ и А 1 В 1

АА 1 и СС 1

МК и С 1 Д 1

АВ и СС 1

D 1

К

В 1

С 1

АВ и ДС

пересекаются

СВ и С 1 В 1

ВС и А 1 Д 1

МК и СД

СД и АА 1

параллельны

параллельны

D

А

пересекаются

М

скрещивающиеся

В

С

Взаимное расположение

прямой и плоскости

а

М

а





а  

а   =М

а



а  (  а)

Признак!

Важные теоремы, связанные

с параллельностью прямой и плоскости

1)

3)



а

c

т

а 

а 

 =т

а  т



т



2)





а

а  b

а 

b 

 =с

с  а

c

с  b

т 

т 

 =с

т  с

b



Взаимное расположение плоскостей

1)



3)









2)

М

т



Определение. Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются

Параллельные плоскости в современной архитектуре

Параллельные плоскости и прямые создают жесткие связи-каркасы, также обеспечивают равномерное распределение нагрузки

Параллельные плоскости в технике

Параллельные плоскости «летают»

Признак параллельности двух плоскостей

две пересекающиеся прямые одной плоскости

Если

двум прямым другой плоскости,

соответственно параллельны

то эти плоскости параллельны

а

Дано:

а  b = M, a   , b  

a₁   , b₁  

a  a₁, b  b₁

b

M



а ₁

c



b ₁

Доказать:   

Доказательство: (от противного)

Предположим, что  и  не параллельны. Тогда они пересекутся по некоторой прямой с.

1) а 

2) b  

b  

а  

 =c

 =c

3) а  с

b  с

а  b

, что противоречит условию

b  c

а  с

Плоскости  и  параллельны, прямая т лежит в плоскости  . Докажите, что прямая т параллельна плоскости 

Задача 1

Дано:



т 

Доказать:

т 



М



т

Доказательство:

Предположим, что т пересекает  в некоторой точке М.

Тогда точка М принадлежит и плоскости  ,

и плоскости  (так как точка М лежит на прямой т,

лежащей в плоскости  ). Но это невозможно ,

поскольку по условию плоскости  и  параллельны.

Значит прямая т параллельна плоскости  .

Задача 2 ( ещё один признак параллельности плоскостей!)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны

Дано:

Доказательство:

т  п=М

т 

п 

т 

п 

Доказать:





п

т

М

с



Задача 3 Две стороны треугольника параллельны плоскости  . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости  .

Доказательство:

Дано:

 АВС

АВ 

ВС 

Доказать:

АС 

А



С

В



Для доказательства используем задачи 2 и 1

Задача 4 В тетраэдре АВСД точки K, L, M – середины сторон АВ, АС, АД соответственно. Докажите, что плоскости KLM и ВСД параллельны

Доказательство:

Дано:

АВСД – тетраэдр

К – середина АВ

L – середина АС

М – середина АД

Доказать:

KLM  ВСД

А

К

М

L

В

Д

Для доказательства используем

признак параллельности плоскостей:

1)

2)

3)

С

Проверь себя:

1

2

нет

3

да

4

нет

нет

5

6

нет

7

нет

нет

8

да

9

10

да

да

Задача 5 В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 точка М – середина А 1 В 1 ,

N – середина В 1 С 1 , К – середина АД, Р – середина ДС. Определите взаимное расположение плоскостей:

N

В 1

С 1

М

MNK и MNP

A 1 B 1 C 1 и ADC

MKP и ВВ 1 Д

Д 1 КР и BMN

A 1 DC 1 и АВ 1 С

АСС 1 и МКР

А 1

Д 1

В

С

Р

Д

А

К

Домашнее задание:

П.10; № 51, 54, 55 (записать решение), задача №5; доказать самостоятельно «Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой»

Спасибо за внимание!