Презентация по геометрии на тему Окружность. Свойства диаметров и хорд окружности

Окружность.

Свойства диаметров и хорд окружности

7 класс

Учитель математики высшей категории: Берсенева Т. А.

МКОУ СОШ № 27 г. Нязепетровска

Определение окружности

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности .

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину.

Из определения следует, что окружность представляет собой геометрическое место точек , равноудалённых от центра.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой .

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (т.е. диаметр - это частный случай хорды).

Очевидно, диаметр окружности в два раза больше ее радиуса. Центр

окружности является серединой любого диаметра.

Окружность разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на две части — внутреннюю и внешнюю . Внутренней части принадлежат те точки, для которых расстояние от центра окружности меньше радиуса, а внешней части — те точки, для которых расстояние от центра больше радиуса.

Точки внутренней части называют внутренними ( точки Е, Р, K и О на рис. ), а точки внешней части — внешними относительно окружности

( точки D, N и M на рис. ). 

Назовите на рисунке

а) радиусы;

б) хорды;

в) диаметры;

г) центр окружности

P

F

M

O

D

E

C

ОМ – высота. Значит, ОМ ⏊ CD, Поэтому АВ ⏊ CD. " width="640"

Свойства диаметра

1 0 . Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.

Доказательство:

1) Пусть диаметр АВ окружности с центром О радиуса r проходит через середину М хорды CD . 

Докажем, что диаметр АВ ⏊ CD.

∆ COD равнобедренный ( ОС = ОD = r ),

и отрезок ОМ является его медианой.

= ОМ – высота. Значит, ОМ ⏊ CD,

Поэтому АВ ⏊ CD.

Свойства диаметра

1 0 . Обратно : диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Доказательство:

2) Пусть теперь диаметр АВ ⏊ CD. Докажем, что он делит хорду пополам.

Рассмотрим диаметр EF , проходящий через середину М хорды CD .

По доказанному выше, EF ⏊ CD.

Но тогда через центр О окружности

проходят две прямые AB и EF ,

перпендикулярные CD , значит, они

совпадают. Поэтому EF и AB — один и тот

же диаметр.

Свойства диаметра

Говорят, что отрезок АВ виден под прямым углом из точки С , если угол АСВ прямой.

2 0 . Каждая точка, из которой диаметр окружности виден под прямым углом, лежит на этой окружности.

Доказательство:

• Пусть АВ - диаметр окружности

с центром О . Тогда если для

Точки С угол АСВ прямой, то в

прямоугольном ∆ АСВ медиана СО

равна половине гипотенузы, к

которой она проведена. Тогда

ОА = ОВ = ОС , т.е. С лежит на

окружности с центром О радиуса ОА .

Свойства диаметра

2 0 . Обратно: из каждой точки окружности любой диаметр, не проходящий через данную точку, виден под прямым углом.

Доказательство:

2) Пусть точка C лежит на

окружности с диаметром AB ,

O - центр этой окружности.

Тогда точка O - середина отрезка AB .

В ∆ АСВ медиана CO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.

Доказанное утверждение позволяет определить ещё одно геометрическое место точек : множество всех точек, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АВ (за исключением точек А и В ).

Задача 1

Хорда АВ равна 9 см, угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Задача 2

В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.

Задача 3

Центр окружности лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 9°. Ответ дайте в градусах.