Презентация Научного проекта на тему: "Область допустимых значений"

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

“ Война с ОДЗ” Екатериненко Серафим 10Б

Научный руководитель:

Мартынова Екатерина Владимировна

МБОУ гимназия №1

ВВЕДЕНИЕ

• Название проекта:

• «Война с ОДЗ»
• «Война с ОДЗ»
• Автор: Екатериненко Серафим Павлович
• Екатериненко Серафим Павлович
• Руководитель: Малькова Наталья Игоревна
• Малькова Наталья Игоревна
• Цель проекта: Определить значимость ОДЗ
• Определить значимость ОДЗ
• Задачи: Дать определение ОДЗ Определить границы ОДЗ Найти способы обхода ОДЗ Собрать статистику о знаниях ОДЗ среди учеников Собрать статистику о частоте появления ОДЗ в ЕГЭ
• Дать определение ОДЗ
• Определить границы ОДЗ
• Найти способы обхода ОДЗ
• Собрать статистику о знаниях ОДЗ среди учеников
• Собрать статистику о частоте появления ОДЗ в ЕГЭ
• Актуальность: Я выбрал данную тему для проекта, так как сам часто совершаю ошибки, не определив или неправильно определив ОДЗ. Поэтому для меня тема ОДЗ актуальна, и я считаю её достойной изучения.
• Я выбрал данную тему для проекта, так как сам часто совершаю ошибки, не определив или неправильно определив ОДЗ. Поэтому для меня тема ОДЗ актуальна, и я считаю её достойной изучения.
• Методы исследования: Обобщение Тестирование Математический метод
• Обобщение
• Тестирование
• Математический метод
• Гипотеза: ОДЗ является важной частью при решении уравнений и неравенств.
• ОДЗ является важной частью при решении уравнений и неравенств.

Об ИСТОРИИ ОДЗ

ОДЗ в той или иной форме появлялась сразу, как только возникали противоречия по поводы значения тех или иных выражений, например, когда кто-либо пытался делить на ноль. Но сам термин “ОДЗ” когда и кем был введен доподлинно неизвестно, так как постоянно изменялся вместе с математикой как наукой, но предположительно он появился в тот же период времени что и область определения и область значений функции. Термины область значений и определения в трактовке схожей сегодняшней появились чуть позже понятия функция, которое в своем первичном виде было введено Ренэ Декартом в своем труде “Геометрия”.

Рене Декарт

ОДЗ И ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Область определения – множество значений переменной, на котором задается функция, это множество не может быть больше ОДЗ.

Область определения – множество значений переменной, на котором задается функция, это множество не может быть больше ОДЗ.

ОДЗ выражения - область допустимых значений, состоит, по определению, из тех x, для которых имеют смысл его левая и правая части.

Рассмотрим уравнение:

ОДЗ выражения - область допустимых значений, состоит, по определению, из тех x, для которых имеют смысл его левая и правая части.

ОДЗ: , т.к. x под знаком квадратного корня, если x отрицательно то выражение бессмысленно.

Несмотря на небольшое различие этих понятий, я рассмотрю их обоих.

Область определения: , т.к. значение корня четной степени всегда неотрицательно, при выражение все еще имеет смысл, хоть и ложно.

Несмотря на небольшое различие этих понятий, я рассмотрю их обоих.

ГРАНИЦЫ ОДЗ

• Деление на ноль запрещено
• Под знаком корня четной степени может быть лишь неотрицательное выражение
• При основании равном нуль показатель степени должен быть положителен
• Основание рациональной степени должно быть положительно
• Аргумент тангенса
• Аргумент котангенса
• Аргумент арккосинуса и арксинуса

ОДЗ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

ДЕЛЕНИЕ НА ЗНАЧЕНИЕ С НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим следующее уравнение и два его решения:

Как можно понять после проверки подстановкой, прекрасное и короткое левое решение дано неверный ответ, потеряв x = 0, это произошло потому, что 0 – один из корней уравнения, т.е. x = 0, а первым же действием левого решения было произведено деление на x, т.е. деление на 0.

К счастью это правило можно обойти, рассмотрев два случая: когда делитель равен нули и неравен нулю, т.е. в данном случае подставить 0 в исходное.

При x ≠ 0:

При x ≠ 0:

При x = 0:

При x = 0:

является корнем

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. Вся проблема здесь как раз таки в пресловутом корне (или степени), которые, имеют немало ограничений. Разберем пример иррационального уравнения с квадратным корнем:

| Возведение в квадрат

ОДЗ:

Модуль для левой части не требуется, согласно ОДЗ она и так неотрицательна

Модуль для левой части не требуется, согласно ОДЗ она и так неотрицательна

Решаем в уме через Виета

Решаем в уме через Виета

Вот и ответ

Вот и ответ

Корень x = -4 не является решением, это можно проверить подстановкой, но ведь ОДЗ было указано, верно? Да, но не было указано еще одно правило: значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. Это очень важное правило при решении иррациональных уравнений, но оно не является правилом ОДЗ. Оно относится к области определения

ВИД УРАВНЕНИЯ, С ОДЗ СОСТОЯЩИМ ИЗ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ТОЧЕК

Рассмотрим следующее уравнение:

С виду оно абсолютно нерешаемо, но при нахождении ОДЗ произойдет следующее:

Как видно, все ОДЗ состоит из двух точек: 4 и 5, то есть можно подставить эти значения и проверить, являются ли они корнями.

При : . После вычислений станет ясно, что выражение справедливо, то есть является корнем.

При : . После вычислений станет ясно, что выражение не справедливо, то есть не является корнем.

ОДЗ ПРИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Рассмотрим следующее уравнение:

,

И его преобразованную версию:

Легко найти решение: , при подстановке в уже преобразованное уравнение ответ сходится, но вот при подстановке в оригинальное уравнение появляется корень из отрицательного числа.

Проблема в разности ОДЗ для обоих примеров, для первого: , для второго же ограничений нет. Из чего можно сделать вывод, что ОДЗ требуется указывать до проведения любых преобразований.

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СПОСОБ ОБХОДА ОДЗ

В некоторых выражениях найти ОДЗ может оказаться непростой задачей, в таких случаях рационально не указывать его, а просто проверить верность корней методом подстановки. Рассмотрим следующее уравнение:

В знаменателе видим уравнение четвертой степени и просто игнорируем его:

=0

Подставляем ответы в знаменатель и получаем:

• – противоречит ОДЗ
• – не противоречит ОДЗ

Как видно, вместо решения уравнения четвертой степени можно сперва решить всё уравнение, а затем подставить корни в исходное.

ОДЗ В ЖИЗНИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Итак, передо мной стояла задача посчитать, сколько пятерок надо получить чтобы “подтянуть” оценку до 4.5 баллов. Средняя оценка считается ка среднее арифметическое среди всех оценок, у меня имеется следующие оценки: 5, 2, 4, 4 и их среднее равно: . Пусть мне нужно получить n пятерок, тогда, чтобы вычислить n мне нужно решить неравенство: .

Я решу уравнение без области определения и ОДЗ и посмотрю, что получится:

Как можно получить -4 пятерки? Никак, количество оценок должно быть положительным и целым, это и была область определения, то есть ответом будет являться .

ЗНАНИЯ ОДЗ СРЕДИ УЧЕНИКОВ 9 И 10 КЛАССОВ, УЧИТЕЛЕЙ.

Я провел тестирование среди десятых и девятых классов профильной и базовой групп математики, дав 3 уравнения девятому и 4 десятому классу.

Дополнительное уравнение для десятого класса: .

РЕЗУЛЬТАТ (10 классы и учителя)

Среди десятиклассников единственной ошибкой в первом уравнении стало неправильное решение, а не деление на , во втором уравнении все ошибившиеся не указали ОДЗ, как и в третьем. В четвертом же всех ошибившихся просто пугал знаменатель, и они не могли от него избавиться, что очень интересно. Полностью с заданием никто кроме двух учителей не справился. Интересно, что после объяснения правильного решения все несправившиеся сочли его чрезвычайно легким и признавали свои ошибки.

№

Класс

1

Группа

Б

2

П

н1

Б

3

П

н2

+

Б

4

+

н3

+

Б

Б

5

+

+

н4

П

+

Б

6

+

-

Б

7

П

-

+

-

П

Б

+

-

8

-

+

-

+

9

-

Б

Б

10

Б

П

+

+

-

-

П

-

-

-

Б

-

11

-

П

Б

12

+

-

-

Б

13

-

Б

+

+

-

-

+

Б

-

+

Б

14

+

Б

15

А

-

-

-

П

-

А

16

+

-

-

А

П

17

-

-

+

-

П

-

+

А

+

-

18

19

П

-

+

+

-

У

А

20

У

+

-

-

+

+

21

А

П

-

-

+

-

-

-

+

22

П

Б

У

П

-

+

+

-

23

У

-

-

-

-

24

А

-

+

-

+

25

А

П

-

+

+

26

+

П

У

+

+

-

+

У

У

+

У

+

+

-

+

+

+

-

+

-

-

+

+

-

Б – база, П – профиль, У – учитель.

РЕЗУЛЬТАТ (9 класс)

Самой распространенной ошибкой среди учеников девятого класса являлось неуказание ОДЗ во втором уравнении. Много учеников испытывали трудности с самим уравнением, а не с ОДЗ. Так, в первом уравнении, один ученик, при раскрытии скобок, умножая на получил , один ученик перенес из правой части в левую и сократил его на , стоящий как множитель перед скобкой. Несколько учеников перенесли , раскрыли скобки, но не смогли решить неполное квадратное уравнение. Было два ученика, которые верно решили первое и второе уравнения, указали ОДЗ в третьем, но при делении на 3 не поделили один из членов квадратного уравнения.

№

н1

1

2

н2

+

-

+

н3

3

З

4

НД

-

НД

!

5

!

НД

+

-

6

НД

+

+

7

+-

8

+

-

НД

9

!

-

+

10

-

+

11

+

+

НД

-

+-

НД

12

+-

-

!

13

НД

!

+

14

15

!

-

!

!

+

+

16

17

НД

-

!

-

НД

18

+

-

+

19

НД

20

+-

-

+

+

НД

-

21

22

НД

+

-

-

+-

!

23

24

+-

+

-

+

25

З

+

-

+

+-

26

+

-

+

!

-

З

+ – верно

- – неверное решение, из-за неуказания ОДЗ

! – полностью неверное решение

НД – задание не выполнено

З – ОДЗ указано, но не использовано

+- – ОДЗ указано, но решение неверно.

ОДЗ В ЕГЭ

Для меня, как для десятиклассника эта тема важна как никогда и точно подходит под заголовок “ОДЗ в жизни”.

Задание 1

Группа

Всего заданий

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Рациональные уравнения

Без ОДЗ

10

Иррациональные уравнения

11

10

Незнание ОДЗ может привести к ошибке

0

15

0

ОДЗ есть, но его незнание не приведет к ошибке

Тригонометрические уравнения

0

2

0

3

Всего

11

1

2

39

Задание 12

12

Группа

14

0

1

Всего заданий

1

Рациональные уравнения

Иррациональные уравнения

24

Без ОДЗ

4

5

Тригонометрические уравнения

0

Незнание ОДЗ может привести к ошибке

0

Тригонометрические уравнения, разложение на множители

ОДЗ есть, но его незнание не приведет к ошибке

0

88

Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

4

33

74

2

4

Всего

38

31

3

0

10

0

168

2

29

105

9

35

28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• В результате анализа полученной информации можно сказать что ОДЗ – важная часть при решении математических задач, в том числе и тех, что встречаются в ЕГЭ. При этом ученики не умеют определять границы ОДЗ при решении задач, что может привести к ошибке. Стоит отметить, что вместо ОДЗ желательно использовать область определения, так как она включает куда больше правил, следовательно “отбрасывает” большее количество неподходящих корней, что особенно заметно при решении иррациональных уравнений.