Вероятность и статистика 9 класс
Случайная величина и распределение вероятностей
Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич
Ваша задача на сегодня:
- Откройте тетради, запишите дату и тему урока.
- Изучите материал на слайдах 3 – 12.
- Рассмотрите решение заданий №№ 1, 2, 4, 6, 7.
- Самостоятельно выполните задания №№3, 5 и 8.
Простыми словами говоря, случайная величина – это величина, которая принимает различные значения в результате случайного эксперимента.
Случайная величина является ключевым инструментом для анализа вероятностных явлений и позволяет нам описывать их с помощью математических моделей.
Случайная величина – это функция, которая сопоставляет каждому элементарному исходу случайного эксперимента числовое значение.
Давайте разберемся на примере игрального кубика!
Предположим, мы бросаем кубик, у которого есть шесть граней, каждая из которых пронумерована и выпадает с равной вероятностью.
Для описания поведения этого игрального кубика с позиции теории вероятности мы можем записать шесть событий:
А1 – «выпала грань с числом 1» А2 – «выпала грань с числом 2» А3 – «выпала грань с числом 3» А4 – «выпала грань с числом 4» А5 – «выпала грань с числом 5» А6 – «выпала грань с числом 6»
Соответственно, вероятность появления каждого этого события 1/6:
Вся эта информация есть полное описание поведения игрального кубика с точки зрения теории вероятности. Ничего более мы сказать не можем.
Если все эти шесть событий описывают поведение одного и того же объекта и, кроме того, связано с появлением чисел от 1 до 6, то эту информацию было бы более удобно обобщить и представить с единых позиций.
Например, мы можем ввести некое событие Х, которое будет связано с появлением того или иного числа при бросании игрального кубика.
То есть, все события А1, А2, А3, А4, А5 и А6 будут описываться одной величиной - Х. Именно эта величина в теории вероятности и называется случайной величиной.
Случайные величины могут быть дискретными.
Дискретная случайная величина принимает счётные значения.
Мы могли наблюдать дискретные счётные величины при игре с игральным кубиком. Там случайная величина Х принимает счётные значения от 1 до 6 и никакие другие. В этом случае записать все возможные её значения можно в виде такой таблицы:
Такая таблица называется рядом распределения.
Случайные величины могут быть непрерывными.
Непрерывная случайная величина может принимать любые значения в заданном диапазоне.
Например, при стрельбе по мишени можно определять евклидовое расстояние между точкой попадания и центром мишени . Вот, например, по такой формуле:
Распределением вероятностей или просто распределением случайной величины называется закон, который каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что величина примет это значение.
Если, например, величина Х может принять значение 8, то нужно указать вероятность события «Х равно 8». Если величина Х может принять значение –4, то нужно указать вероятность события «Х равно –4». Такие события принято обозначать (Х = 8), (Х = – 4).
Распределение вероятностей можно задать таблицей, графиком, диаграммой, формулами или даже словесным описанием.
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СУММА ВСЕХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАВНА ЕДИНИЦЕ .
Объясняется это тем, что сумма вероятностей всех значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий.
В жизни значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы гаджета может оказаться любым (положительным) числом.
Также любым числом может оказаться вес наудачу взятого человека. Можно привести и другие примеры.
Ещё раз повторюсь, что такие случайные величины называются непрерывными . Для непрерывных случайных величин распределение вероятностей между возможными значениями описывают с помощью функций.
Задание 1. Известно, что в классе учащихся — 34 чел. Из них девочек — 16 чел. Какое количество значений может принимать случайная величина «число учеников, отсутствующих сегодня в классе»?
Решение:
Чтобы найти количество значений для числа отсутствующих учеников, давайте рассмотрим все возможные ситуации. Минимальное количество учеников, отсутствующих в классе, будет 0 (если все присутствуют). Максимальное количество будет 34 (если никто не присутствует). Таким образом, случайная величина "число учеников, отсутствующих сегодня в классе" может принимать значения от 0 до 34, включая обе граничные точки. Следовательно, количество значений, которые может принимать эта случайная величина, равно 35.
Ответ: 35.
Задание 2. Задай с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины X, равной числу орлов, выпавших при двух бросках монеты.
Значение
0
Вероятность
1
2
Ответ:
Задание 2. Задай с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины X, равной числу орлов, выпавших при двух бросках монеты.
Значение
0
Вероятность
0,25
1
2
0,5
0,25
Задание 3 (выполнить самостоятельно). В таблице построено распределение случайной величины «сумма очков при бросании двух игральных костей». Заполните недостающие ячейки (ответы запишите в виде десятичной дроби).
Задание 4. В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найди её.
Решение:
Напоминаю основное свойство распределения: сумма всех вероятностей равна единице.
Исходя из этого, мы от единицы должны отнять сумму всех вероятностей, то есть 1 – (0,12 + 0,24 + 0,13 + 0,27) = 0,24.
Ответ: 0,24.
Задание 5 (выполнить самостоятельно). В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найди её.
Задание 6.
Ответ:
Задание 6.
Задание 7. Распределение вероятностей случайной величины Х задано таблицей.
Значение Х
Вероятность
0
0,15
0,5
0,11
1
0,08
1,5
2
0,5
0,25
Найдите вероятность события «Х
Решение:
1) Выбираем значения Х, которые меньше 1,5. Получается, что у нас остаётся три значения: 0, 0,5 и 1.
2) 0,15 + 0,11 + 0,08 = 0,34.
Ответ: 0,34.
1» " width="640"
Задание 8 (выполнить самостоятельно). Распределение вероятностей случайной величины Х задано таблицей.
Значение Х
0
Вероятность
0,05
0,5
1
0,24
0,1
1,5
2
0,15
0,46
Найдите вероятность события «Х 1»
Использованные ресурсы:
- https:// www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika/9-klass/sluchainaia-velichina-7368790/sluchainaia-velichina-i-raspredelenie-veroiatnostei-7351538/re-dd153f14-2232-4037-8d02-a74412bc16bd
- https :// youtu.be/FLEhjN7fwAo