Презентация к уроку геометрии в 8 классе "Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства"

8 класс ГЕОМЕТРИЯ

Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Ваша задача на сегодня:

• Изучите материал слайдов 3 – 10.
• Составьте опорный конспект.
• Ознакомьтесь с примерами решений задач.
• Выполните домашнее задание.

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

Вписанный четырёхугольник  — это четырёхугольник, вершины  которого лежат на одной  окружности. Эта окружность называется описанной.  

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ТЕОРЕМА 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Доказательство . Угол   ABC  является вписанным углом, опирающимся на дугу  ADC  (рис.1). Поэтому величина угла  ABC  равна половине угловой величины дуги  ADC . Угол  ADC  является вписанным углом, опирающимся на дугу  ABC . Поэтому величина угла  ADC  равна половине угловой величины дуги  ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов  ABC  и  ADC  равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы  BCD  и  BAD , то рассуждение будет аналогичным.

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ТЕОРЕМА 2. Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины  A ,  B  и  С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину  D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка  D  лежит внутри круга .

Продолжим отрезок  CD  за точку  D  до пересечения с окружностью в точке  E , и соединим отрезком точку  E  с точкой  A . Поскольку четырёхугольник  ABCE  вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов  ABC  и  AEC  равна 180°. При этом сумма величин углов  ABC  и  ADC  так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол  ADC  равен углу  AEC . Возникает противоречие, поскольку угол  ADC  является внешним углом треугольника  ADE  и, конечно же, его величина больше, чем величина угла  AEC , не смежного с ним.

      Случай, когда точка  D  оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

Описанный четырёхугольник  — это четырёхугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной.

Свойства и признаки описанного четырехугольника

Сейчас я предлагаю вам рассмотреть примеры решений задач, которые чаще всего попадаются в вариантах ОГЭ по математике.

Задача 1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ: 6.

Задача 2. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 7.

Задача 3. Углы А, В и С четырёхугольника АВСD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол  D , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90.

Задача 4.

Ответ: 15.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1) Изучите п. 77 и п. 78 2) Решите №698 и задачу из доп. литературы:

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 70°, угол САD равен 49°. Найдите угол АВD.