Презентация к уроку геометрии на тему "Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда" (11 класс)

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда .

Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется объемом. Так что же такое объем пространственной фигуры?

Чтобы найти объем сначала выбирают единицу измерения. Единицей объема в Древнем Риме служила амфора (около 25,5 л). Нефть во всем мире измеряют в англо-американских единицах - баррелях, то есть в бочках емкостью 159 литров. Распространённая в России бытовая единица измерения объема — ведро.

амфора (≈ 25,5 л)

баррель (159 л)

ведро

Кубический сантиметр

1 см 3

1 см

1 см 2

1 см

1 см

1 см

За единицу измерения объема в геометрии принимаем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром, и обозначают см 3 . Аналогично определяются кубический метр (м 3 ), кубический миллиметр (мм 3 ).

Объём — это положительная величина

V = 2 см 3

Свойства объёмов:

Свойство 1

Равные тела имеют равные объёмы

a

h

b

c

h

b

a

c

Свойства объёмов:

Свойство 2

Если тело составлено из нескольких тел , то его объём равен сумме объёмов этих тел

F

V = V F + V Q

Q

Свойства объёмов:

Свойство 3

Если одно тело содержит другое, то объём первого тела

не меньше объёма второго

V = a 3 ⇒ V = 1 см 3

1 см

Следствие

Дано:

а = 1 см

Найти: V 1

V = a 3

V = 1 3 = 1 см 3

Следствие доказано

1

Теорема

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений

V = abc

Теорема

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению

трёх его измерений — V = abc

Дано :

параллелепипед

а, b, c — его измерения

a n ≤ a ≤ a n '

b n ≤ b ≤ b n '

c n ≤ c ≤ c n '

V — объём параллелепипеда

Доказать: V = abc

Доказательство:

a n b n c n ≤ abc ≤ a n 'b n 'c n ' (1)

a

1) а, b, c — конечные десятичные дроби

n — число знаков после запятой (n ≥ 1) ⇒

V n = a n b n c n

V n '= a n 'b n 'c n '

⇒ а . 10 n , b . 10 n , c . 10 n — целые

a n b n c n ≤ V ≤ a n 'b n 'c n ' (2)

c

c n '

⇒ a n b n c n = V = a n ' b n ' c n ' ⇒

c n

⇒ V = abc

2) a, b, c — бесконечная десятичная дробь

a n

b n

b

а n , b n , c n — конечные десятичные дроби

b n '

Теорема доказана

a n '

a n

Следствие 1

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

c

V = S осн. · h

S = ab

b

a

Следствие 2

Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту

B 1

A 1

S осн. = 2S ABC

C 1

B

A

C

Задача 1

Дано:

a з

a с , b с , h с и a з , b з , h з — ширина, длина и высота параллелепипедов

b з

h з

Найти: V

2

Решение:

a с = 3, b с = 3, h с = 4

V c = a с b с h с = 3 · 3 · 4 = 36

5

a з = 3 – 2 = 1,

b з = 3,

h з = 5 – 4 = 1

h с

V з = a з b з h з = 1 · 3 · 1 = 3

V = V c + V з = 36 + 3 = 39

Ответ: V = 39

b с

a с

Задача 2

Дано:

250 х120х65 — размер кирпича

2200х120х700 — размер проёма

Найти: N кирпичей

250

120

Решение:

a 1 = 250 , b 1 = 120, h 1 = 65

a 2 = 2 000, b 2 = 120, h 2 = 700

65

V 1 = a 1 b 1 h 1

V 2 = a 2 b 2 h 2

Ответ: 95 кирпичей

Задача 3

3

Дано:

прямоугольный параллелепипед (измерения указаны на рисунке)

4

1

Найти: V

1

Решение:

V = ab с

V 1 — объём полного параллелепипеда с измерениями 4, 3, 3

3

V 2 — объём малого «вырезанного» параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1

V — объём данного многогранника

V 1 = a 1 · b 1 · c 1 = 3 · 3 · 4 = 36

V 2 = a 2 · b 2 · c 2 = 3 · 1 · 1 = 3

V = V 1 – V 2 = 36 – 3 = 3 3

Ответ: V = 33

Задача 4

C 1

B 1

Дано:

D 1

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 — прямоугольный параллелепипед

A 1

6 см

∠ B 1 DB = 30°

B 1 D = 6 см ,

Двугранный угол А 1 В 1 ВD = 60 °

B

C

Найти: V

30°

Решение:

60 °

1)

D

A

⇒ ∠ A В D = 60°

3) ∆ABD — прямоуг., ∠ ABD = 60° ⇒

∠ ADB = 18 0° – 9 0° – 6 0° = 30° ⇒

2)

⇒ BB 1 = 6 : 2 = 3 см

BD 2 = AB 2 + AD 2

B 1 D 2 = B 1 B 2 + BD 2

4) V = ab с