Презентация к уроку геометрии на тему "Пирамида. Площадь полной поверхности пирамиды" (10 класс)

10 КЛАСС

ГЕОМЕТРИЯ

Пирамида. Площадь полной поверхности пирамиды

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Пирамида

Пирамида – многогранник, одна грань которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину .

Элементы пирамиды

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. 

МО – высота

Элементы пирамиды

Апофема  – высота боковой грани правильной пирамиды.

МН – апофема

Элементы пирамиды

Боковые рёбра пирамиды -  отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания.

АМ, ВМ, СМ, DМ – боковые рёбра

Элементы пирамиды

Боковая грань пирамиды  — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

АМD, ВМА, СМВ, DМС – боковые грани

Элементы пирамиды

Основание пирамиды  – грань пирамиды, являющаяся n-угольником.

АВСD – основание

Элементы пирамиды

• МО – высота
• МН – апофема
• АМ, ВМ, СМ, DМ – боковые рёбра
• АМD, ВМА, СМВ, DМС – боковые грани
• АВСD – основание

Пирамида называется n-угольной,

если её основанием является n-угольник.

Треугольная пирамида

также называется тетраэдром .

Сечения пирамиды

S полн. = S осн. + S бок.

— Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью её боковой поверхности

— Сумма площадей всех граней (и основания и боковых граней), называется площадью полной поверхности пирамиды

P

Рассмотрите решение задачи:

Дано:

РABCD — пирамида

ABCD — параллелограмм

K

C

B

AD = 36 см

АВ = 20 см,

12 см

S ABCD = 360 cм 2 ,

PH — высота

F

H

20 см

AC ∩ BD = H ⇒ AH = HC, BH = HD

Q

PH = 12 см

A

D

M

Найти: S бок.

36 см

Решение:

1) AB = CD,

⇒ ΔABP = ΔDPC

AP = PC

PD = PB,

2) BC = AD, PD = PB, АР = РС ⇒ ΔBPC = ΔAPD

⇒ PQ ⏊ CD, PM ⏊ AD

3) HQ ⏊ CD, HM ⏊ AD

S бок. = 2(S APD + S DPC ) =

7) S бок. = S APD + S ABP + S BPC + S DPC ⇒

= 2 (234 + 150)= 2 (240 + 150) = 2 · 384 = 768 (см 2 )

Ответ: S бок. = 768 см 2

Задачи для самостоятельного решения:

• В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
• Известно, что площадь полной поверхности пирамиды равна 50, а площадь основания 10. Вычислите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
• Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 5, 12 и 7. Одно из них перпендикулярно плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?
• Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых рёбер.
• Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию пирамиды. Площадь основания равна 400 см 2 . Найдите площади сечений.
• Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м 2 . На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м 2 ?

Интересные факты о пирамидах Египта

1) Сакральное число 7: в Египте именно 7 главных пирамид. Ученые считают, что это число связано с божественным образом Осириса.

2) Примерный вес пирамиды Хеопса — 5 млн тонн.

3) На возведение одной пирамиды требовались десятилетия, а не века, как считалось раньше.

4) В строительстве пирамиды Хеопса было задействовано около 100 тысяч человек.

5) Если поделить периметр пирамиды Хеопса на две высоты, получится число Пи.

6 ) Каждая грань каждого сооружения обращена строго к одной из сторон света. Египтологи утверждают, что пирамиды служили теодолитом, компасом и моделью известных линейных и временных измерений.

7) Склепов внутри нет: они находятся неподалеку — в так называемой Долине Царей.

8) Пирамида Хеопса входит в список 7 чудес света Древнего мира.

9) Египетские пирамиды оснащены огромной системой тоннелей, которые связывают внутренние помещения с внешними гранями.