Презентация к уроку алгебры в 9 классе "Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена"

9 класс АЛГЕБРА

Двадцать седьмое февраля Дистанционное обучение Тема: Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

ВАША ЗАДАЧА НА СЕГОДНЯ:

• Изучить содержание всех слайдов 3 – 1 5 и составить опорный конспект.

• Выполнить задания из слайда 1 6 .
• Выполненные работы отослать на почту учителя до 28.02.2023.

Термин «последовательность» используют, когда говорят о расположении учеников в шеренге, очередности дней недели, расположении команд в турнирной таблице и т.д. На сегодняшнем уроке мы выясним, что такое числовая последовательность.

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. Чтобы было иначе, вы должны сегодня изучить урок очень-очень внимательно.

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 3 , второе 6 , третье 9 , четвертое 12 и т. д. Получим  последовательность 3; 6; 9; 12; ... . Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 15 , на десятом — число 30 , на сотом — число 300 . Вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 3 n . Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1: Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на n-м месте; она равна

Числа, образующие последовательность, называют  членами последовательности . Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например а 1 , а 2 , а 3 , а 4  и т. д. (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят,  n-й член последовательности , обозначают а n . Саму последовательность будем обозначать так: (а n ).

В рассмотренных примерах мы имели дело с последовательностями, содержащими бесконечно много членов. Такие последовательности называются  бесконечными . Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют  конечной . Например, конечной является последовательность двузначных чисел 10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.

Способы задании последовательностей

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью  формулы n-го члена последовательности .

Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой а n  = 2n, последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой

Пример 1

Пусть последовательность задана формулой у n  = n 2  - 3га. Подставляя вместо га натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем

y 1  = -2, у 2  = -2, у 3  = 0, у 4  = 4, у 5  = 10, ... .

Рассматриваемая последовательность начинается так:

-2; -2; 0; 4; 10; ... .

Пример 2

Пусть последовательность задана формулой х n  = (-1) n  • 10. Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны -10, а с четными номерами равны 10:

х 1  = -10, х 2  = 10, х 3  = -10, х 4  = 10, ... .

Получаем последовательность

-10; 10; -10; 10; -10; ... .

Пример 3

Формулой с n  — 5 задается последовательность, все члены которой равны 5:

5; 5; 5; 5; 5; ... .

Рассмотрим еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько).

Такую формулу называют  рекуррентной  (от латинского слова  recurro  — возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности — рекуррентным способом.

2. Выпишем первые несколько ее членов: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180—1240). Члены этой последовательности называют  числами Фибоначчи . " width="640"

Приведем пример задания последовательности рекуррентным способом. Пример 4. Пусть (u n ) — последовательность, в которой n 1  = 1, u 2  = 1, u n + 1  = u n  + u n - 1  при n 2. Выпишем первые несколько ее членов: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180—1240). Члены этой последовательности называют  числами Фибоначчи .

ЗАПОМНИ!

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого натурального числа существует элемент данного множества;

• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

• для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной  n , которая принадлежит множеству натуральных чисел  N . 

Формула n-го члена последовательности:

По учебнику выполните: 1) №563 2) № 565 (не пугайтесь, всё очень легко, весь номер решается по формуле п-го члена последовательности) 3) № 569.

Пример выполнения №569 (в): а 1 = 16, а n + 1 = – 0,5 а n а 2 = –0,5 а 1 = –0,5 ∙ 16 = –8 а 3 = –0,5 а 2 = –0,5 ∙ (–8) = 4 а 4 = –0,5 а 3 = –0,5 ∙ 4 = –2 а 5 = –0,5 а 4 = –0,5 ∙ (–2) = 1

СПАСИБО

ЗА ВНИМАНИЕ

Использованные ремурсы:

• https://file.11klasov.net/1384-algebra-9-klass-uchebnik-makarychev-yun-mindyuk-ng-i-dr.html
• http:// лена24.рф/Алгебра_9_кл_Макарычев/24. html
• https://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/progressii/chislovaya-posledovatelnost-i-sposoby-ee-zadaniya
• https://www.evkova.org/chislovyie-posledovatelnosti# Числовые%20последовательности
• https://zaochnik.ru/blog/chislovye-posledovatelnosti-dlja-chajnikov/