Презентация к уроку алгебры и начал математического анализа на тему "Уравнение cos x = a" (10 класс)

10 класс

Алгебра и начала математического анализа

Уравнение cos x = a

УРАВНЕНИЕ

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин.

Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Тригонометрическое уравнение – уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида называют простейшими тригонометрическими уравнениями.

На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида

Косинусом угла называется абсцисса точки , полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол . При этом не забудьте, что так как координаты х и у точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам –1 у 1 и –1 х 1, то для справедливо неравенство –1 1.

Из этого следует, что уравнение cos x = a имеет корень только при –1 a 1.

Как решают такие уравнения?

Рассмотрите уравнение

Чтобы найти х , нам нужно ответить на вопрос, чему равен косинус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу косинусов:

Тогда

Давайте покажем это на единичной окружности.

Отметим точку У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки на ось абсцисс, то попадём в .

Как решают такие уравнения?

Рассмотрите уравнение

Чтобы здесь найти  х , нам нужно ответить на вопрос, косинус каких точек равен . Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются вертикальной прямой, проходящей через точки, имеющие абсциссу, равную

Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках – M 1 и M 2

Исходя из таблицы значений косинусов, точка M 1 получается из начальной точки Р(1;0) поворотом на угол M 2 поворотом на угол .

Тогда решением нашего уравнения будут два корня – .

Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Отсюда уравнение имеет два решения:

Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .

Решение уравнения

Решение уравнения

Абсциссу, равную ,  имеют две точки единичной окружности.

Так как , а угол .

Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле

Решение уравнения

Абсциссу, равную ,  имеют две точки единичной окружности.

Так как , а угол .

Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле

Заметим, что каждое из уравнений и имеют бесконечное множество решений. Однако, на отрезке [] каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, - это корень уравнения , а , - это корень уравнения .

Число называют арккосинусом числа . Записывают так: arccos

Число называют арккосинусом числа . Записывают так: arccos

Кстати, «арккосинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «косинус». Это обратная функция.

арккосинус

Арккосинусом числа а , число х , косинус которого равен а.

аrccos а = х , если cos x = a и

арккосинус

Для любого а [-1; 1] справедлива формула:

аrccos а + аrccos (- а) =

Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных значений.

Решим уравнение

Ответ:

Решим уравнение

Ответ:

№ 1

Вычислите:

а) arccos б) 2 arccos1 + 3 arccos0; в) arccos + arccos .

№ 2

Вычислите:

а) cos б) cos в) 5cos

г) cos ; д) sin

№ 3

Найдите все значения а, при которых выражение имеет смысл:

а) arccos2 a б) arccos( a – 1);

в) arccos( + 1).

№ 4

Упростите выражение:

а) arccos б) arccos

в) arccos .

№ 5

Решите уравнения:

а) cos х = 0,1 б) 2cos 3х = -1 в) 3cos = г) 2cos = - д) cos 2х cos 3х – sin 2х sin 3х = -1.

е) 1 – 2 = 0 ж)

№ 6

Найди все решения уравнения на отрезке [].