Презентация "Иррациональные уравнения и неравенства"

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

Определение . Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными .

Подходы к решению иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения решаются с помощью перехода к рациональным уравнениям или системам.

• Возведение обеих частей уравнения в степень.

f(x) = g(x) f 2n+1 (x) = g 2n+1 (x), n N

f(x) = g(x) f 2n (x) = g 2n (x), n N

При возведении в четную степень возможно появление посторонних корней . Поэтому обязательно нужно выполнить проверку, подставляя полученные корни в исходное уравнение.

Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 1 .

х 3 – х = (х + 1) 3

3х 2 + 4х + 1 = 0 х 1 = - , х 2 = -1.

Ответ: { - ; -1} .

1

3

1

3

Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 2 .

х = (х – 2) 2 .

х 2 – 5х + 4 = 0 х 1 = 4, х 2 = 1.

• Проверка : х 1 = 4, - верно;
• Проверка : х 1 = 4, - верно;

х 2 = 1, - ложно;

значит х = 1 – посторонний корень.

• ОДЗ : х ≥ 0 х ≥ 2 , т.е. х [2; + ∞).
• ОДЗ : х ≥ 0 х ≥ 2 , т.е. х [2; + ∞).

х – 2 ≥ 0

значит х = 1 – посторонний корень, так как 1 [2; + ∞).

Ответ : 4 .

или

Подходы к решению иррациональных уравнений

• Введение одной или нескольких новых переменных.

Пример 3.

Пусть .

Тогда 2у 2 + у – 3 = 0 у 1 = 1, у 2 = -1,5.

Значит или х = 1 или х = - .

Ответ: {1; - } .

27

8

27

8

Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 4 .

Пусть

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

u – v = 1

u 3 = x + 34 Вычтем из второго третье уравнение:

v 3 = x – 3

u – v = 1 u = v + 1 u = v + 1

u 3 – v 3 = 37 (v + 1) 3 – v 3 = 37 v 2 + v -12 = 0

Тогда v 1 = 3 , v 2 = -4 .

Значит, х – 3 = 3 3 или х – 3 = (-4) 3 х = 30 или х = -61.

Ответ: {-61; 30} .

Подходы к решению иррациональных уравнений

• Предварительный анализ ОДЗ и вида уравнения.

Пример 5.

ОДЗ : х – 1 ≥ 0 х ≥ 1

3 – 5х ≥ 0 х ≤ 0,6

Ответ: нет корней .

Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 6.

(как арифметические корни).

Значит их сумма равна нулю, только если

х = 5

х = ± 5

Ответ: 5 .

х = 5

Иррациональные неравенства

Определение . Иррациональные неравенства – это неравенства, содержащие переменную под знаком корня.

g(x) 2 f 2n+1 (x) g 2n+1 (x), n N f(x) g(x) ≥ 0 f 2n (x) g 2n (x) f(x) 0 g(x) ≥ 0 " width="640"

Подходы к решению иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства решаются с помощью перехода к равносильным рациональным неравенствам или их системам.

1

Исходное неравенство

Равносильное неравенство или система

f(x) g(x)

2

f 2n+1 (x) g 2n+1 (x), n N

f(x) g(x) ≥ 0

f 2n (x) g 2n (x)

f(x) 0

g(x) ≥ 0

0 f(x) 2 (x) 5 f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) ≤ g 2 (x) g(x) 0 f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) g 2 (x) " width="640"

Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное неравенство

3

4

Равносильное неравенство или система

f(x) ≥ 0

g(x) 0

f(x) 2 (x)

5

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) ≤ g 2 (x)

g(x) 0

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) g 2 (x)

Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное неравенство

1

Равносильное неравенство или система

2

f(x) ≥ а 2

3

4

f(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

f(x) ≥ а 2

Нет решений ( )

(x + 2) 3 x 2 + 2x – 3 (x -1)(x + 3) x (-3; 1) . Пример 2 . 5 – у ≥ 0 у ≤ 5 у [-4; 5] 5 – y ≤ 3 y ≥ 4 " width="640"

Решение иррациональных неравенств

Пример 1 .

х 3 + 26 (x + 2) 3 x 2 + 2x – 3

(x -1)(x + 3) x (-3; 1) .

Пример 2 .

5 – у ≥ 0 у ≤ 5 у [-4; 5]

5 – y ≤ 3 y ≥ 4

(2x + 3) 2 3x 2 – 16x + 14 x (x – 1)(x + 5) ≥ 0 x ≥ 1,5 1,5 ///////////////////////////////////////////////////////////// \\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\ -5 1 1,5 //////////////////////// \ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ " width="640"

Решение иррациональных неравенств

Пример 3 .

2х – 3 x

x 2 + 4x – 5 ≥ 0 (x – 1)(x + 5) ≥ 0

2х – 3 ≥ 0 x ≥ 1,5

x 2 + 4x – 5 (2x + 3) 2 3x 2 – 16x + 14

x

(x – 1)(x + 5) ≥ 0

x ≥ 1,5

1,5

/////////////////////////////////////////////////////////////

\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\

-5

1

1,5

////////////////////////

\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\