Презентация "Геометрия окружности"

ГИА 2022

Геометрия окружности

Вписанные четырехугольники

Тюнева Надежда Васильевна– учитель математики и физики высшей категории МАОУ «Светлинская средняя общеобразовательная школа № 2» п.Светлый муниципального образования Светлинский район Оренбургской области

Задания в итоговой аттестации

Профильный уровень ЕГЭ № 3

Базовый уровень ЕГЭ № 15

ОГЭ № 16

Немного теории

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность .

Свойства вписанного четырехугольника

• Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны  180° .

• Теорема 2 (Обратная  к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Параллелограмм

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является 

прямоугольником.

Диагональ прямоугольника равна двум радиусам

Ромб

• Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является 

квадратом

Трапеция

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является 

равнобедренной.

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к основаниям.

Дельтоид

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид  состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны

Произвольный четырехугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

S=

где a , b, c, d   – длины сторон четырёхугольника, а  p  – полупериметр, т.е. p= (a+b+c+d)

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей  вписанного четырехугольника  равно сумме произведений противоположных сторон.

АС*ВД = АВ*СД+ВС*АД

Угол  A  четырехугольника  ABCD , вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол  C  этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

По свойству вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 0 .

Ответ: 122

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и  .

Радиус R описанной около прямоугольника –

окружности равен половине диагонали. По т. Пифагора: AC= ,

тогда R=9.

Ответ: 9.

Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Д иагонали   прямоугольника – диаметры окружности.

Треугольник ABO – равносторонний, так как 

Ответ: 16.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная (AB=CD).

Средняя линия трапеции  l  есть полусумма оснований (BC+AD)/ 2, при том  l  =25. P=2AB+(BC+AD); 60=2AB+50; AB=5.

  Ответ: 5.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть равна 180˚. Если  A=99°, то  C=180°-99°=81°. Если  B=56°, то  D=180°-56°=124°. Угол D и есть наибольший.  Ответ: 124.

Найдите площадь вписанного в окружность четырехугольника АВСД ,если длины его сторон равны 4,7,8 и 1.

Площадь вписанного четырёхугольника найдем по формуле Брахмагупты:

•  

S=

а=4,b=7,с=8 и d=1 . p= (4+7+8+1)= 10

S= = 18

Ответ :18

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции .

Длина высоты трапеции HQ есть сумма длин высот OQ,OH треугольников OBC и OAD.

•  

OQ= =4 (по т. Пифагора из треугольника OQC);

OH== 3 (по т. Пифагора из треугольника OHD); HQ=4+3=7.

  Ответ: 7.

Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

AB=BC=...=EF= P: 6 = 108 : 6 =18. Рассмотрим треугольник AOF. Он равносторонний, т.к. AO=OF=R и 

Ответ: 36.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

Ответ: 6.

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n.

  Рассмотрим треугольник AОB.   Он равнобедренный, так как AO=BO=R.

Значит, 

  Ответ: 10.