Практическая работа № 13 Логические функции. Логические элементы компьютера. Законы алгебры логики

Практическая работа № 13

Логические функции. Логические элементы компьютера. Законы алгебры логики

Цель занятия: научить вычислять истинность сложных высказываний и строить таблицы истинности логических выражений для решения задач

Задачи:

• учебная – способствовать формированию знаний построения таблиц истинности, логических схем и упрощений логических выражений; закрепление знаний об алгебре логики;

• воспитательная – способствовать формированию информационной культуры студентов, положительной мотивации к изучаемой дисциплине;

• развивающая – развитие творческого мышления обучающихся; развитие умения применять полученные знания при решении задач различной направленности; расширение кругозора, умение выделять главное из нормативных документов способствовать развитию интереса к предмету и умение применять полученные знания в дальнейшем обучении;

• сформировать компетенции ОК 01.

Время на выполнение работы: 2 часа.

Оборудование, технические средства и инструменты:

• компьютеры с ОС Windows, Microsoft Word;

• Инструкционная карта работы;

• проектор;

• экран (интерактивная доска)

Технология работы:

Организационный этап

Приветствие учащихся. Выявление отсутствующих

Вводный этап урока

Аристотель (384-322 гг. до н.э.) – древнегреческий философ, основоположник логики. Исследовал различные формы рассуждений, ввел понятие силлогизма. Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида:

• «Все а суть в»

• «Некоторые А суть В»

• «Все А не суть В»

• «Некоторые А не суть В»

Декарт Рене (1596-1650, французский философ, математик) – рекомендовал в логике использовать математические методы.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716, немецкий ученый и математик) – предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Логика обретает символьный язык, конкретность законов, распространяется за рамки гуманитарных наук. Его идеи оказали влияние на последующие работы ученых в этой области.

Джордж Буль (1815-1864, английский математик-самоучка, основоположник математической логики).

В 1846 году Джордж Буль подхватил идею Лейбница о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую к всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Его именем она теперь и называется: алгебра Буля или булева алгебра.

Огастес де Морган (1806 – 1871, шотландский математик и логик) - изложил (1847) элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений.

Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907) – русский астроном, математик. Автор первых в России трудов по математической логике, активно занимался популяризацией этой дисциплины, первый из русских учёных, кто читал лекции по математической логике. Занимался проблематикой алгебры высказываний. Его работы оказали влияние на последующие исследования в данной области.

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами.

Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

Алгебра – раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами (которые принято обозначать строчными латинскими буквами, например a, b, x, y и т.д.).

Логика (др.греч. λογικος означает «мысль, понятие, рассуждение, закон») – наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения,
наука о законах и формах мышления.

Алгебра логики изучает общие операции над логическими высказываниями.

Логическое высказывание – повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Формальная логика – наука о законах и формах правильного мышления.

Математическая логика – изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода.

Основными формами абстрактного мышления являются:

• понятия,

• суждения,

• умозаключения.

Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. (Трапеция, дом).

Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. (Весна наступила, и грачи прилетели).

Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание. (Все металлы - простые вещества).

Классическая логика – силлогизмы (рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье: все млекопитающие имеют скелет. все киты - млекопитающие. следовательно, все киты имеют скелет; все квадраты - ромбы. все ромбы - параллелеграммы. следовательно, все квадраты - параллелограммы).

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Пример. высказывание «Число 6 делится на 2» - простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

Теоретический материал:

• Логические константы (логические утверждения) – конкретные частные утверждения.

Истина: Аристотель - основоположник логики.

Ложь: На яблонях растут бананы.

• Логические переменные (предикаты) – логические высказывания, значения которых меняются в зависимости от входящих в них переменных, обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С, D, F,…

А = {Аристотель - основоположник логики} – истина.

В = {На яблонях растут бананы} – ложь.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

• Логические функции (логические формулы) – сложные логические выражения, образованные из простых и связанные логическими операциями И, ИЛИ, НЕ и др.)

Высказывание «Все мышки и кошки с хвостами» является сложным и состоит из двух простых высказываний.

А=«Все мышки с хвостами» и В=«Все кошки с хвостами»

Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=A и B.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно.

Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложь (0) или истина (1).

Истина, ложь – логические константы.

В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y.

Логические высказывания:

Логические выражения бывают простыми или составными (сложными).

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций. В нём возможно только два результата – либо «истина», либо «ложь».

• На улице светит солнце. (А)

• На улице идет дождь. (В)

Сложное логическое высказывание строится из простых с помощью логических связок (таких как «И», «ИЛИ», «НЕ»), которые называются логическими операциями.

• На улице светит солнце и на улице идет дождь. (А и В)

• На улице светит солнце или на улице идет дождь. (А или В)

Для обозначения булевых переменных используются буквы латинского алфавита - x, y, z...

Основные логические операции:

• НЕ (NOT) - (логическое отрицание, инверсия)

• ИЛИ (OR) - (логическое сложение, дизъюнкция)

• И(AND) - (логическое умножение, конъюнкция)

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).

Таблица 1 Основные логические операции

Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Операция НЕ (отрицание, инверсия)

Отрицание (инверсия) – операция логического отрицания.

Добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО…

Обозначение: не, not, ¬ , ¯.

Е сли исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Таблица истинности отрицания (Операция НЕ (отрицание, инверсия):

А – Земля вращается вокруг Солнца – истинно

¬А – Земля не вращается вокруг Солнца – ложно

Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И.

Обозначение: и, and, ×, & , Ù

Л огическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.

Таблица истинности конъюнкции (Операция И (логическое умножение, конъюнкция):

А – У меня есть знания для сдачи зачета.

В – У меня есть желание для сдачи зачета.

У меня есть знания И желание для сдачи зачета.

A Ù B

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ.

Обозначение: или, or, +, V

Л огическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна.

Таблица истинности дизъюнкции (Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):

A – Летом я поеду в лагерь

B – Летом я поеду к бабушке

Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке

A V B

Импликация («если …, то …»)

Импликация (логическое следование) – связывает два логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Операция обозначается словами: «Если…, то…» (Если А, то В).

Р езультат операции импликации ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Таблица истинности импликации(Импликация («если …, то …»):

А – идёт дождь

В – на улице сыро

Если идёт дождь, то на улице сыро.

А → В

Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)

Эквивалентность (логическое тождество, равнозначность) – определяет результат сравнения двух логических выражений. Операция обозначается словами: «…тогда и только тогда, когда…» (А т. и т. т. когда В)

Обозначение: « , Û , º , ~

Р езультат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности эквивалентности (Эквивалентность («тогда и только тогда, …»):

А – день сменяет ночь

В – солнце скрывается за горизонтом

День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.

А ~ В

Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

При выполнении операций применяются отношение эквивалентности «=» и скобки «()», которые определяют порядок выполнения операций. Если скобок нет, то операции выполняются в следующей последовательности: отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.

Приведем таблицу истинности основных логических операций (табл. 2).

Таблица 2 Таблица истинности основных логических операций

Рассмотрим практическое применение на решении задач и построим таблицу истинности для логического выражения А V A & B

1. Определяем порядок действий

2. подсчитать количество переменных -n = 2, определить число строк в таблице по формуле m = 2² = 4.

3. Приоритет операций: &, V

Чертим таблицу по количеству переменных и количеству действий

А теперь давайте составим алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Закрепим этот алгоритм на практике

Ход практического занятия:

Задание 1. Построим таблицу истинности для логического выражения А  A  B

Задание 2. Построим таблицу истинности для логического выражения А  (B  ¬ A )

Задание 3. Построим таблицу истинности для логического выражения ¬ ( A  B  ¬ A )

Задание 4. Построим таблицу истинности для логического выражения ¬ ( A  B)  (A  1)

Задание 5. Построим таблицу истинности для логического выражения А  (B  C)

Задание 6. Построим таблицу истинности для логического выражения (А  B)  (¬A  C)

Самотоятельная работа

Построить таблицы истинности для логических функций

Рефлексия

Давайте вернемся к теме нашего урока

Вспомним те цели, которые мы ставили в начале нашего занятия. Как вы думаете, мы достигли их? Все вы сегодня хорошо потрудились.

Скажите, пожалуйста, какие затруднения вы испытывали во время выполнения задания? С чем это связано?

Итог занятия

Хочется поблагодарить вас за отличную работу на уроке! Вы все молодцы!

Сообщаю оценки за работу

Прощаюсь со студентами

Домашнее задание

Построить таблицы истинности для данных ниже сложных высказываний. По таблице истинности определить тип формулы логики высказываний.

1. F = (A ᴠ B) ʌ (¬ A ᴠ¬ B)

2. F= X ᴠ Y ʌ ¬ Z

3. F=XʌYᴠ¬(XᴠY)ᴠX

4. F = А ʌ(В → С)

5. F=(Вʌ¬В)↔(AᴠD)

Контрольные вопросы:

1. Что такое логика?Что такое высказывание (приведите пример)?

2. Как называются и как обозначаются (в языке математики) следующие операции: ИЛИ, НЕ, И, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЛИБО …ЛИБО?

3. Понятие и обозначение инверсии. Таблицы истинности инверсии

4. Понятие и обозначение конъюнкции. Таблицы истинности конъюнкции.

5. Понятие и обозначение дизъюнкции. Таблицы истинности дизъюнкции.

6. Понятие и обозначение импликации. Таблицы истинности импликации.

7. Понятие и обозначение эквивалентности. Таблицы истинности эквивалентности.

8. Порядок действий в сложных логических выражений.

9. Способ изменения порядка действий в логических выражениях.

Оформление результатов работы:

Оформить работу в соответствии с заданием.

Ответить на контрольные вопросы.

Показать преподавателю.

Список рекомендуемой литературы

Основные источники:

1. Цветкова, М. С. Информатика: учебник для СПО / М. С. Цветкова, И. Ю. Хлобыстова. – Москва: Академия, 2020.

Дополнительные источники:

1. Цветкова М. С. Информатика: практикум для профессий и специальностей естественно-научного и гуманитарного профилей: учебное пособие для СПО / М. С. Цветкова, И. Ю. Хлобыстова. - 3-е изд., стер. – Москва: Академия, 2017.

2. Л.А. Залогова Компьютерная графика: учебное пособие - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 215 с.