Пособие по теме: Решение тригонометрических неравенств

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение тригонометрических неравенств»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2022

Рассмотрено ПЦК общеобразовательных предметов,

ОГСЭ, математического и естественнонаучного циклов

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2022 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: тригонометрических функций, методов решения тригонометрических неравенств и подготовится к занятию по теме «Решение иррациональных и тригонометрических неравенств».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение тригонометрических неравенств, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение тригонометрических неравенств

Приведем общие решения простейших тригонометрических неравенств. Они неудобны для запоминания, поэтому в практической части рассмотрим методы их решения без использования указанных формул.

Все тригонометрические неравенства, как и уравнения, сводятся к простейшим, поэтому, прежде всего, необходимо уметь решать именно их.

Для синусов и косинусов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:

1)      

1.     

2.     

3.     

2)      

1.     

2.     

3.   

3)      

1.     

2.     

3.   

4)      

1.     

2.     

3.   

В случае если неравенство нестрогое, в промежутки решений включаются их концы, т.е. записываются квадратные скобки. Пустое множество решений тогда имеет место при строгих ограничениях. Например:

1.     

2.     

3.   

Для тангенсов и котангенсов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:

5)      

6)      

7)      

8)      

В нестрогих неравенствах в промежутки решений включают только корни   и  , т.е. у них записываются квадратные скобки, возле концов промежутков, соответствующих асимптотам, скобки остаются всегда круглыми. Например:

.

Задача №1. Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а)  ; б)  .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение  .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку  .

Ответ. а)  ; б)  .

Задача №2. Вычислить:  а)  ; б)  .

 а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т.к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как  .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как  .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше  , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

  .

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б)  .

Задача №3. Вычислить  , если  .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на  . При этом, можем не бояться, что  , т.к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Тригонометрические неравенства

Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.

Задача №4. Решить неравенство  .

Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному  , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.

 Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т.е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т.к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.

Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка – это указать сразу, что правой точке соответствует угол  , левой   и дать ответ  . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.

Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т.е. по часовой стрелке и он будет равен  . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла  . Теперь начало промежутка углов меньше конца  , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:

Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса  :

.

Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.

Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.

Ответ. .

Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.

Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

Задача №5. Решить неравенство  .

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

Получаем в нашем случае:

Ответ. 

Задача №6. Решить неравенство  .

Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:

Получим:

Ответ. .

Задача №7. Решить неравенства: а)  ; б)  .

В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.

а) Поскольку  , то неравенство   не имеет смысла. Следовательно, решений нет.

б) Т.к. аналогично  , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству  . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента  .

Ответ. а) решений нет; б)  .

Задача 8. Решить неравенство  .

Это простейшее неравенство со сложным аргументом решается аналогично подобному уравнению. Сначала находим решение для всего указанного в скобках аргумента целиком, а потом преобразовываем его к виду « », работая с обоими концами промежутка, как с правой частью уравнения.

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

В нашем случае:

Ответ. 

Система тригонометрических неравенств

Как и договаривались в лекционной части урока, приведем пример решения одной системы тригонометрических неравенств.

Задача №9. Решить систему неравенств  .

Решим простейшие неравенства с помощью формул общих решений:

и

Для наших неравенств имеем два промежутка решений:

Для этих двух промежутков необходимо указать пересечение. Изобразим это на тригонометрической окружности:

Промежуток   не является частью решения, т.к. на самом деле здесь области не пересекаются, поскольку лежат в разных диапазонах углов: отрицательном и положительном.

Обратите внимание на то, что начало промежутка решений включается, а конец исключается. Ответ.  .

Критерии оценивания тестовых заданий

9 вопросов 5 (отлично) (9 ответов)

9 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов)

9 вопросов 3 (удов) (7 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов