Понятие вероятности. Типы случайных событий и действия над ними

Понятие вероятности. Типы случайных событий и действия над ними

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, — какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности — они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Одно из базовых понятий теории вероятности – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пример невозможного события: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх.

И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл».  В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила/направление броска, сопротивление воздуха и т.д.

Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, например, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать жертве, но, ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами   либо теми же буквами с подстрочными индексами, например:  . Исключение составляет буква  , которая зарезервирована под другие нужды.

Запишем следующие случайные события:

 – в результате броска монеты выпадет «орёл»;
 – в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;
 – из колоды будет извлечена карта трефовой масти (по умолчанию колода считается полной).

Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).

Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие   становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие   достоверным. Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их рубашки неразличимы.

Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например:

выпадение орла или решки при броске монеты; 
выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика; 
извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды.

При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана.

События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий  является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой вверху. Например:

 – в результате броска монеты выпадет орёл;
 – в результате броска монеты выпадет решка.

Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными.

Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики:

 – в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков;
 – в результате броска игрального кубика выпадет число очков, отличное от пяти.

Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны и противоположны.

Аналогично – или трефа или карта другой масти:

 – из колоды будет извлечена карта трефовой масти;
 – из колоды будет извлечена пика, черва или бубна.

Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:

 – в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
 – … 2 очка;
 – … 3 очка;
 – … 4 очка;
 – … 5 очков;
 – … 6 очков.

События   несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий).

Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но обходить их стороной не будем. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например:

 – из колоды карт будет извлечена трефа;
 – из колоды карт будет извлечена семёрка.

Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого.

Понятие совместности охватывает и большее количество событий:

 – завтра в 12.00 будет дождь;
 – завтра в 12.00 будет гроза;
 – завтра в 12.00 будет солнце.

Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба.

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …

Обозначения. Вероятность некоторого события   обозначается большой латинской буквой  , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

 –  вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
 – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
 – вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Вероятностью наступления события   в некотором испытании называют отношение  , где:

 – общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

 – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию  .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу, таким образом, общее число исходов  ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен.  Событию   благоприятствует   исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей:  .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться   элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию   благоприятствует единственный   исход (выпадение пятёрки). Поэтому:  .

Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна  , но в теории вероятностей ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах  . При этом если  , то событие   является невозможным, если   – достоверным, а если  , то речь идёт о случайном событии.

! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:

 – из урны будет извлечён красный шар;
 – из урны будет извлечён зелёный шар.

Общее количество исходов:  . Событию   благоприятствуют все возможные исходы  , следовательно,  , то есть данное событие достоверно. Для 2-го же события благоприятствующие исходы отсутствуют  , поэтому  , то есть событие   невозможно.