Подготовка к ОГЭ по математике

Касательная, хорда, секущая, радиус

Подготовка к ОГЭ(модуль геометрия)

№ 1. Радиус  OB  окружности с центром в точке  O  пересекает хорду  AC  в точке  D  и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды  AC , если  BD  = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

• Решение.
• Найдем отрезок  DO :
•   DO = OB − BD  = 5 − 1 = 4.
• Т. к.  OB  перпендикулярен  AC , треугольник  AOD  — прямоугольный.
• По теореме Пифагора имеем:
•   AD = √AO 2 - OD 2
• AD = √25 – 16 = 3
• Треугольник  AOC  — равнобедренный, так как  AO = OC = r , тогда  AD = DC . Таким образом,  AC = AD ·2 = 6.
• Ответ: 6

№ 2. Найдите величину (в градусах) вписанного угла  α , опирающегося на хорду   AB , равную радиусу окружности .

• Решение.
• Проведем радиусы  OA  и  OB .
• Т. к. по условию задачи хорда  AB  равна радиусу, то треугольник  AOB  — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол  AOB  — центральный и равен 60°.
• Угол  ACB  — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол  AOB .
• Значит, угол АСВ = 30.
•  
• Ответ: 30.

№ 3. К окружности с центром в точке  О  проведены касательная  AB  и секущая  AO . Найдите радиус окружности, если  AB  = 12 см,  AO  = 13 см.

• Решение.
• Соединим отрезком точки  O  и  B.
• Полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому  OB  перпендикулярен  AB . Рассмотрим прямоугольный треугольник  AOB .
• По теореме Пифагора:
• АО 2 = ОВ 2 + АВ 2
• ОВ 2 = АО 2 - АВ 2
• ОВ 2 = 13 2 – 12 2 = 169 – 144 = 25
• ОВ = 5
• Ответ: 5

№ 4. В треугольнике  ABC  угол  C  равен90°,  AC  =30,  BC  =5√13.  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

• Решение.
• Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
• По теореме Пифагора имеем:
• АВ 2 = √30 2 + (5√13) 2 = √900 + 325 = √1225 = 35
• Радиус равен 17,5
• Ответ: 17,5

№ 5. Прямая касается окружности в точке  K . Точка  O  — центр окружности. Хорда  KM  образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла  OMK . Ответ дайте в градусах.

• Решение.
• Касательная и радиус ОК перпендикулярны.
• Хорда КМ и касательная образуют угол 83 ⁰ .
• Значит, угол ОКМ = 90⁰ – 83⁰ = 7⁰
• В треугольнике  OMK  :

  ОK  =  OM  -радиусы окружности.

• Значит, треугольник  OMK  — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны.
• Угол ОМК = 7 ⁰
• Ответ: 7 ⁰

№ 6. Отрезки  AB  и  CD  являются хордами окружности. Найдите длину хорды  CD , если  AB  = 20, а расстояния от центра окружности до хорд  AB  и  CD  равны соответственно 24 и 10.

• Решение.
• Рассмотрим треугольники АОН и ВОН – прямоугольные.
• АО = ОВ (радиусы окр), ОН  — общая
• Значит, треугольники равны(по гипотенузе и катету).
•   АН = ВН = 0,5 АВ.
• Аналогично, СОК = КОD
• СК = КD = 0,5 СD .
• Рассм. треугольник ВОН,
• по теореме Пифагора:
• ОВ = √ОН 2 + ВН 2 = √12 2 + 9 2 = 15
• Рассм. треугольник ОКD ,
• по теореме Пифагора :
• ОK = √OD 2 -KD 2 = √OB 2 - KD 2 = √15 2 -12 2 = 9
• Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды СD = 9.
• Ответ: 9

№ 7. Отрезок  AB  = 40 касается окружности радиуса 75 с центром  O  в точке  B . Окружность пересекает отрезок  AO  в точке  D . Найдите  AD .

• Решение.
• Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.
• Из прямоугольного треугольника  АОВ по теореме Пифагора найдём 
• AО = √OB 2 +AB 2 = √40 2 + 75 2 = 85
• АD = AO – OD = 85 – 75 = 15
• Ответ: 15

№ 8. Касательные в точках  А и В  к окружности с центром О пересекаются под углом 76°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

• Решение.
• Обозначим точку, из которой выходят касательные, буквой С.
• Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны.
•   АС = ВС, следовательно, треугольник  АВС - равнобедр.
• Касательная в точке В перпендикулярна к радиусу ОВ
• Ответ: 38⁰