Подготовка к ОГЭ

Ответы

Вариант 1:

1.  Ответ:26

2.Ответ: 67

3. Ответ: 78

4.Ответ: 6

5. 13

6. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB  =  12.

Решение.  Пусть A₁, B₁ и C₁  — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC₁  =  AB₁, BC₁  =  BA₁ и CA₁  =  CB₁  =  r. Периметр треугольника ABC равен

2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁  =  2AB + 2r,

а его полупериметр p равен AB + r.

По формуле площади треугольника находим 

Ответ: 28.

7.

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём BF  =  DM, BE  =  DK. Докажите, что EFKM  — параллелограмм.

Решение. Противоположные стороны параллелограмма равны и по условию     следовательно:

В параллелограмме противоположные углы равны:  ,   Рассмотрим треугольники AEM и CFK, в этих треугольниках  ,  ,   следовательно, эти треугольники равны, а значит,  . Аналогично равны треугольники EBF и MKD, а следовательно, равны отрезки EF и   Противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник  — параллелограмм.

Вариант 2:

1.  Ответ:13

2.Ответ: 156

3. Ответ: 36

4.Ответ: 6

5. 13

6.

В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH  — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее основание BC равно 4.

Решение. В трапеции средняя линия равна полусумме оснований, поэтому можем найти большее основание AD, зная KM и 

Проведём в трапеции вторую высоту   Трапеция равнобедренная, поэтому   Рассмотрим два треугольника: ABL и CHD, они прямоугольные, имеют равные углы и AB равно CD, следовательно, эти треугольники равны. Таким образом, равны отрезки AL и 

Также рассмотрим четырёхугольник LBCH, все углы в нём  — прямые, следовательно, это прямоугольник, значит, 

Теперь найдём длину отрезка 

Ответ: 8.

7. В параллелограмме ABCD  точка    — середина стороны AB. Известно, что   . Докажите, что данный параллелограмм  — прямоугольник.

Решение.  Пусть точка    — середина стороны AB  параллелограмма ABCD  — равноудалена от его вершин C  и D. Тогда, треугольник CKD  — равнобедренный, поэтому  . Поскольку прямая CD  параллельна стороне AB, то    и    как накрест лежащие. Таким образом,    по первому признаку равенства треугольников  .Значит,  . Их сумма равна 180°, т. к. это два угла параллелограмма, прилежащие к одной стороне. Следовательно,   = 90°. По свойству параллелограмма углы BCD  и CDA  также прямые. Значит, ABCD  — прямоугольник.