Подготовка к ЕГЭ. Преобразование выражений

Задание 9. Преобразование выражений

1. Найдите значение выражения 6a − 15b+ 10, если

Решение. Способ 1

Из равенства по правилу пропорции имеем:

(2a−3b) ・3 = 4・ (a−b+2), 6a−9b = 4a−4b+8, 2a−5b = 8. Отсюда получаем:
6a − 15b+ 10 = 3 ・ (2a − 5b) + 10 = 3 ・ 8 + 10 = 34.

Примечание. Заметим, что данное в условии равенство не определяет числа a и b однозначным образом – подставляя в равенство 2a = 5b + 8 вместо b произвольное число, мы получим пару чисел a и b, для которой данное в условии равенство выполнено. Но ответ в задании не должен зависеть от выбора числа b. Чтобы ответ в задаче вычислялся однозначно, коэффициенты должны быть подобраны специальным образом. И это ответственность составителя задачи, а не ученика! Поэтому при решении подобной задачи на экзамене в целях экономии времени вполне допустим следующий способ вычисления правильного ответа.

Способ 2

Подставляя в равенство значение b = 0, получаем:

, 6a = 4(a+2), a = 4. Подставляя в выражение 6a−15b+10 значения a = 4, b = 0, получаем ответ: 6 ・ 4 + 10 = 34.

Ответ: 34.

2. Найдите значение выражения x + 2y − 3z, если 4x + y = 6, 12z − 7y = 20.

Решение. Способ 1

Если из равенства 4x + y = 6 вычесть равенство 12z − 7y = 20, то получим равенство
4x+8y −12z =−14, левая часть которого отличается от выражения, значение которого требуется найти, лишь множителем 4. Отсюда находим: x + 2y − 3z = ・ (−14) = −3,5.

Примечание. Так как в условии даны два равенства, связывающие значения трёх переменных, то значения x, y, z, не определяются из условия задачи однозначным образом. Значение любой из переменных x, y, z можно принять равным любому числу (после чего две оставшиеся переменные будут определяться однозначно). Но ответ не должен зависеть от произвольности выбора значений одной из переменных. И это опять же ответ-

ственность составителя задачи! Поэтому, как и в предыдущем примере, на экзамене допустимо вычисление ответа по упрощённой схеме.

Способ 2

Полагая в равенствах 4x + y = 6 и 12z − 7y = 20 число y равным нулю, имеем: 4x = 6,
12z = 20, откуда x = 1,5 z = . Подставляя в выражение x + 2y − 3z значения x=1,5, y =0,
z = , получаем ответ: 1,5 − 3 ・ −3,5.

Ответ: −3,5.

3. Вычислите

Решение.

Ответ: 2.

4. Вычислите .

Решение.

Заметим, что и, аналогично,
. Отсюда имеем:

Ответ: 10.

5. Найдите значение выражения если

Решение.

Преобразуем данное в условии выражение следующим образом:

Так как b¹³=16, то
0,5.

Ответ: 0,5.

6. Найдите значение выражения , если 2ⁿ⁺³= 9.

Решение.

Так как 2ⁿ⁺³ = 9, то
2ⁿ⁻¹ = Поэтому

Ответ: 363.

7. Найдите значение выражения при n = −6.

Решение.

Преобразуем данное в условии выражение следующим образом:

Подставляя в полученное выражение n = −6, имеем:

Ответ: 18522.

8. Найдите значение выражения sin 2α, если

Решение.

tg α = отсюда по правилу пропорции имеем:

sin α ・ (6 sinα − 10 cosα) = cosα ・ (5 sinα − 6 cosα). Раскрывая скобки и преобразовывая полученное равенство, находим:

6 sin²α − 10 sinα cos α = 5sinα cos α − 6 cos² α, 15 sinα cos α = 6sin² α + 6cos²α = 6. Отсюда находим, что значение искомого выражения равно sin 2α = 2sinα cos α = 2・

Ответ: 0,8.

9. Вычислите log_2,25 log₁₈

Решение.

Заметим, что

Поэтому log₁₈ log₁₈

Далее имеем: 2,25 =1,5², log_2,25 log₁₈ log_2,25 1,5=

Ответ: 0,5.

10. Вычислите log₉ 10 ・ log₈ 729 ・ lg 128.

Решение.

Так как 8 = 2³, 729 = 9³, то log₈ 729 = log₂³ 9³ = log₂ 9.

Далее, 128 = 2⁷, lg 128 = lg 2⁷ = 7 lg 2. Поэтому данное в условии выражение преобразуется следующим образом: log₉ 10 ・ log₂ 9 ・ 7 lg 2 =

Ответ: 7.

11. Найдите значение выражения если a⁹ − b⁵= 0.

Решение.

По условию имеем: a⁹=b⁵, b =

Отсюда получаем:

Итак,

Ответ: 0,65.

12. Вычислите .

Решение.

Так как log₂12 − 3 = log₂12 − log₂8 = log₂ = log₂1,5, то данное в условии выражение преобразуется следующим образом:

Ответ: 12.